Question

如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的二次函数图象经过点B、D．
（1）用m表示点A、D的坐标；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）点Q为二次函数图象上点P至点B之间的一点，且点Q到△ABC边BC、AC的距离相等，连接PQ、BQ，求四边形ABQP的面积．

Answer 1

分析：（1）由△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，可得出AO=0D，由点B坐标为（3，m）得出AC的长度和OC的长，从而得出点A、D的坐标；
（2）由二次函数图象的顶点坐标为P（1，0），且过点B、D，代入y=k（x-1）²，求出即可；
（3）根据四边形ABQP的面积=△ABC的面积-（△CBQ的面积+△CPQ的面积）求出即可．

解答：解：（1）∵点B坐标为（3，m）（m＞0），
∴OC=3，BC=m．
∵AC=BC，
∴AC=m，
∴点A坐标为（3-m，0），
由题意得：AO=OD，
∴点D坐标为（0，m-3）；

（2）设以P（1，0）为顶点的抛物线的解析式为y=k（x-1）²（k≠0），
∵抛物线过点B、D，
∴

m=k(3-1)2 m-3=k(0-1)2.

，
解得：

m=4 k=1.

，
所以二次函数的解析式为y=（x-1）²，
即：y=x²-2x+1；

（3）设点Q的坐标为（x，y），显然1＜x＜3，y＞0．
∵点Q到△ABC边BC、AC的距离相等，
∴QE=FQ=y，
∵CO=3，∴x+y=3，y=3-x，即x²-2x+1=3-x，
整理得x²-x-2=0．解得x=2，x=-1（舍去），
所以y=1，点Q的坐标为（2，1），点Q到边AC、BC的距离都等于1．
连接CQ，
四边形ABQP的面积=△ABC的面积-四边形CBQP的面积，
=△ABC的面积-（△CBQ的面积+△CPQ的面积），
=

1

2

×4×4-（

1

2

×4×1+

1

2

×2×1）=5．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的求法和一般四边形面积求法，将四边形分割成几个三角形和差的形式是解决问题的关键．