Question

如图，已知抛物线（b为＞2的实数）与x轴的正半轴分别交于点A、D（点A位于点D的左侧），与y轴的正半轴交于点B．
（1）点A的坐标为______，点D的坐标为______（用含b的代数式表示）；
（2）当b=8时，求出点B的坐标；
（3）在（2）的条件下，E为OD中点，BC∥OD，CE⊥OD于点E．从初始时刻开始，动点P，Q分别从点O，B同时出发，运动速度均为1cm/s，动点P沿O-B-C-E的方向运动，到点E停止；动点Q沿B-C-E-D的方向运动，到点D停止．设运动时间为ts，△POQ的面积为scm²，（这里规定：线段是面积为0的三角形）
解答下列问题：
①当t=2s时，s=______cm²；当t=s时，s=______cm²；
②当5≤t≤14时，求s与t之间的函数关系式；
③当动点P在线段BC上运动时，求出S_梯形OBCD时t的值．

Answer 1

解：（1）x²-（b+2）x+b=0，
（x-2）（x-b）=0，
解得x₁=2，x₂=b，
则点A的坐标为（2，0），点D的坐标为（b，0）；

（2）将b=8，x=0代入，得
y=0-0+×8=5，
则点B的坐标（0，5）；

（3）①2×2÷2=2（cm²），
×4÷2=9（cm²），
故当t=2s时，s=2cm²；当t=s时，s=9cm²；

②
当5≤t≤9时，s=S_梯形ABCQ-S_△ABP-S_△PCQ=（5+t-4）×4×5（t-5）（9-t）（t-4），
即
当9＜t≤13时，s=（t-9+4）（14-t），
即
当13＜t≤14时，s=×8（14-t）=-4t+56，
即s=-4t+56；

③当动点P在线段BC上运动时，
∵S_梯形oBCD=×（4+8）×5=8=8
即t²-14t+49=0，
解得t₁=t₂=7，
∴当t=7时，S_梯形oBCD．
分析：（1）x²-（b+2）x+b=0，解方程求得x的值，即可得到点A、点D的坐标；
（2）将b=8，x=0代入，求得y的值，即可得到点B的坐标；
（3）①根据三角形的面积公式可得当t=2s时，s的值；当t=s时，s的值；
②分当5≤t≤9时；当9＜t≤13时；当13＜t≤14时；三种情况讨论可得s与t之间的函数关系式；
③根据S_梯形OBCD，可得关于t的方程，解方程即可得到t的值．
点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：与x轴、y轴的交点坐标的特点，代入法的运用，三角形的面积计算，分类讨论思想的运用，综合性较强．