Question

14．如图，BD是⊙O的直径，点A是劣弧BC的中点，DF是⊙O的切线交BC于点F，AD交BC于点E．
（1）求证：EF=DF；
（2）若AE=2，ED=4，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）如图1所示：连接CD．由点A是劣弧BC的中点可知∠ADB=∠ADC，由∠EDF=90°-∠ADB，∠FED=90°-∠ADC，可证明∠FED=∠EDF；
（2）如图2所示：连接AB．先证明△ABE∽△ADB，从而可求得AB=2$\sqrt{3}$，利用特殊锐角三角函数值可知∠BDA=∠ABC=30°，从而得到BD=2AB=4$\sqrt{3}$，在△BDF中由∠DBF=30°可求得DF=4．

解答 解：（1）如图1所示：连接CD．

∵点A是劣弧BC的中点，
∴$\widehat{AB}=\widehat{AC}$．
∴∠ADB=∠ADC．
∵BD是圆O的直径，
∴∠DCB=90°．
∴∠CED+∠EDC=90°．
∵DF是圆O的切线，
∴∠BDF=90°．
∴∠EDF+∠BDE=90°．
∴∠FED=∠EDF．
∴EF=DF．
（2）如图2所示：连接AB．

∵点A是劣弧BC的中点，
∴$\widehat{AB}=\widehat{AC}$．
∴∠ADB=∠ABC．
又∵∠A=∠A，
∴△ABE∽△ADB．
∴AB²=AE•AD．
∴AB=2$\sqrt{3}$．
∵BD是圆O的直径，
∴∠DAB=90°．
∴tan∠BDA=tan∠ABC=$\frac{AB}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴∠BDA=∠ABC=30°．
∴BD=2AB=4$\sqrt{3}$，∠DBF=30°．
∴EF=DF=DB×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=4$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}$=4．

点评 本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、相似三角形的性质和判定、特殊锐角三角函数值求得AB的长以及∠BDA=∠ABC=30°是解题的关键．