Question

4．如图，已知在?ABCD中，延长AD到E，使DE=AD，延长AB到F，使BF=AB，分别以AF、AE为斜边作Rt△ANF，Rt△AME，且∠F=∠E．求证：CM=CN．

Answer 1

分析 连接BN，DM，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到BN=$\frac{1}{2}$AF=AB，MD=$\frac{1}{2}$AE=AD，根据等边对等角得∠BAN=∠BNA，∠MAD=∠AMD，证明∠NBC=∠MDC，根据四边形ABCD为平行四边形，所以BC=AD，AB=CD，得到CD=NB，BC=AD，证明△NBC≌△CDM，即可解答．

解答 解：连接BN，DM，

∵AM⊥ME，AN⊥FN，BF=AB，DE=AD
∴BN=$\frac{1}{2}$AF=AB，MD=$\frac{1}{2}$AE=AD，
∴∠BAN=∠BNA，∠MAD=∠AMD，
∴∠ABN=180°-2∠BAN，∠ADM=180°-2∠MAD，
∵∠BAN+∠F=90°，∠MAD+∠E=90°，∠F=∠E，
∴∠BAN=∠MAD
∴∠ABN=∠ADM
∵∠NBC=∠ABN+∠ABC，
∠MDC=∠ADM+∠ADC
又∵在平行四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC
∴∠NBC=∠MDC
∵四边形ABCD为平行四边形
∴BC=AD，AB=CD，
∴CD=NB，BC=AD，
在△NBC和△CDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=NB}\\{∠NBC=∠MDC}\\{BC=AD}\end{array}\right.$，
∴△NBC≌CDM，
∴CM=CN．

点评 本题考查了全等三角形的性质与判定定理、直角三角形的性质、平行四边形的性质，解决本题的关键是证明△NBC≌CDM．