Question

如图，已知CD是AB的中垂线，垂足为点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．
（1）求证：DE=DF；
（2）若线段CE的长为3cm，BC的长为4cm，求出BF的长．

Answer 1

分析：（1）由CD是AB的中垂线，根据线段垂直平分线的性质，可得AC=BC，又由等腰三角形的性质，可得CD是△ABC的角平分线，然后由角平分线的性质，可证得DE=DF；
（2）易证得Rt△ADE≌Rt△BDF，则可得AE=BF，继而求得答案．

解答：解：（1）∵CD是AB的中垂线，
∴AC=BC，
∴∠ACD=∠BCD，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE=DF；

（2）∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠AED=∠BFD=90°，
在Rt△ADE和Rt△BDF中，

DE=DF AD=BD

，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL），
∴AE=BF，
∵CE=3cm，BC=4cm，
∴BF=AE=AC-CE=BC-CE=1（cm）．

点评：此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．