Question

1．如图，已知动点A在函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC，直线DE分别交x轴，y轴于点P，Q，当QE：DP=9：25时，图中的阴影部分的面积等于$\frac{68}{15}$．

Answer 1

分析 作DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于G，得到△QEG∽△PDF，于是得到$\frac{EG}{PF}=\frac{QE}{DP}=\frac{9}{25}$，设EG=9t，则PF=25t，然后根据△ADE∽△FPD，据此即可得到关于t的方程，求得t的值，进而求解．

解答 解：作DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于G，
∴△QEG∽△DPF，
∴$\frac{EG}{PF}=\frac{QE}{DP}=\frac{9}{25}$，
设EG=9t，则PF=25t，
∴A（9t，$\frac{4}{9t}$），
由AC=AE AD=AB，
∴AE=9t，AD=$\frac{4}{9t}$，DF=$\frac{4}{9t}$，PF=25t，
∵△ADE∽△FPD，
∴AE：DF=AD：PF，
9t：$\frac{4}{9t}$=$\frac{4}{9t}$：25t，即t²=$\frac{4}{135}$，
图中阴影部分的面积=$\frac{1}{2}$×9t×9t+$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{9t}$×$\frac{4}{9t}$=$\frac{68}{15}$，
故答案为：$\frac{68}{15}$．

点评 本题考查了反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．也考查了相似三角形的判定与性质．