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17.解方程组:$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}①}\\{2x+y+z=22②}\end{array}\right.$
方程组中的①式实际包含三个等式:$\frac{x}{2}$=$\frac{y}{3}$,$\frac{x}{2}$=$\frac{z}{4}$,$\frac{y}{3}$=$\frac{z}{4}$,只需任取其中两个(另一个通过这两个代换即可得),便可以与②式联立成三元一次方程组,如$\left\{\begin{array}{l}{3x=2y}\\{4y=3z}\\{2x+y+z=22}\end{array}\right.$,然后用一般方法求解.对原方程组也可以用换元的方法来求解.令$\frac{x}{2}$=$\frac{y}{3}$=$\frac{z}{4}$=k,则有x=2k,y=3k,z=4k③,把③代入②,得4k+3k+4k=22,解得k=2,所以x=4,y=6,z=8,所以原方程组的解为$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=6}\\{z=8}\end{array}\right.$.
借鉴上述“换元法”,解方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z+3}{4}}\\{2x+3y-z=13}\end{array}\right.$.

分析 将$\frac{x+1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z+3}{4}=k$,得出x=2k-1,y=3k-2,z=4k-3,再代入解答即可.

解答 解:把解方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z+3}{4}}\\{2x+3y-z=13}\end{array}\right.$中的$\frac{x+1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z+3}{4}=k$,
可得:x=2k-1,y=3k-2,z=4k-3,
把x=2k-1,y=3k-2,z=4k-3代入2x+3y-z=13,
可得:4k-2+9k-6-4k+3=13,
解得:k=2,
可得:x=3,y=4,z=5;
所以方程组的解是:$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=4}\\{z=5}\end{array}\right.$.

点评 此题考查方程组的解法问题,关键是利用换元法进行计算.

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