Question

若实数a满足a2+2a-1+

2

a

+

1

a2

=0，则a+

1

a

=

 

．

Answer 1

考点：完全平方公式

专题：计算题,换元法

分析：先把原等式变形为a²+

1

a2

+2（a+

1

a

）-1=0，根据完全平方公式得到∴（a+

1

a

）²-2+2（a+

1

a

）-1=0，利用换元法设a+

1

a

=x，则有方程x²+2x-3=0，解方程得x₁=1，x₂=-3，分别把x=1或-3代入设a+

1

a

=x，由于x=1，则a+

1

a

=1，得到a²-a+1=0，而△=1-4=-3＜0，所以a+

1

a

的值为-3．

解答：解：∵实数a满足a2+2a-1+

2

a

+

1

a2

=0，
∴a²+

1

a2

+2（a+

1

a

）-1=0，
∴（a+

1

a

）²-2+2（a+

1

a

）-1=0，
设a+

1

a

=x，
∴x²+2x-3=0，
∴x₁=1，x₂=-3，
当x=1，则a+

1

a

=1，
∴a²-a+1=0，
∵△=1-4=-3＜0，
∴此方程无实数根；
当x=-3，则a+

1

a

=-3
∴a²+3a+1=0，
∴△=9-1=8＞0，
∴此方程有不相等的两个实数根．
所以a+

1

a

=-3．
故答案为-3．

点评：本题考查了完全平方公式：a²±2ab+b²=（a±b）²．也考查了倒数的定义、一元二次方程的根的判别式和解法以及换元法的运用．