Question

已知二次函数y=x²+2x+m的图象C₁与x轴有且只有一个公共点。
（1）求C₁的顶点坐标；
（2）将C₁向下平移若干个单位后，得抛物线C₂，如果C₂与x轴的一个交点为A（-3，0），求C₂的函数关系式，并求C₂与x轴的另一个交点坐标；
（3）若P（n，y₁），Q（2，y₂）是C₁上的两点，且y₁＞y₂，求实数n的取值范围。

Answer 1

解：（1）y=x²+2x+m=（x+1）²+m-1，对称轴为x=-1，
∵与x轴有且只有一个公共点，
∴顶点的纵坐标为0，
∴C₁的顶点坐标为（-1，0）；
（2）设C₂的函数关系式为y=（x+1）²+k，
把A（-3，0）代入上式得（-3+1）²+k=0得k=-4，
∴C₂的函数关系式为y=（x+1）²-4，
∵抛物线的对称轴为x=-1，
与x轴的一个交点为A（-3，0），
由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）；
（3）当x≥-1时，y随x的增大而增大，
当n≥-1时，∵y₁＞y₂，∴n＞2；
当n＜-1时，P（n，y₁）的对称点的坐标为（-2-n，y₁），且-2-n≥-1，
∵y₁＞y₂，
∴-2-n＞2，
∴n＜-4，
综上所述：n＞2或n＜-4。