精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,边AB的垂直平分线交BC于点D,垂足为E,AD平分∠BAC.
(1)求∠B的度数;
(2)求证:CD=$\frac{1}{3}$BC;
(3)若AC=2,点P是直线AD上的动点,求|PB-PC|的最大值.

分析 (1)根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD,根据等边对等角可得∠BAD=∠B,然后利用直角三角形两锐角互余列式求出∠CAD=∠BAD=∠B=30°;
(2)根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AD=2CD,根据AD=BD,从而得出BD=2CD,得出BC=BD+CD=3CD,即可证得CD=$\frac{1}{3}$BC;
(3)作C点关于直线AD的对称点C′,作直线BC′交AD于P,此时|PB-PC|的值最大,最大值为AC的长.

解答 解:(1)∵DE是AB的垂直平分线,
∴AD=BD,
∴∠BAD=∠B,
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠BAD,
∵∠C=90°,
∴∠B+2∠B=90°,
∴∠B=30°.
(2)∵∠CAD=∠BAD=∠B=30°,
∴AD=2CD,
∵AD=BD,
∴BD=2CD,
∴BC=BD+CD=3CD,
∴CD=$\frac{1}{3}$BC;
(3)作C点关于直线AD的对称点C′,
∵AD平分∠BAC.
∴C′在直线AB上,连接BC′的直线就是AB,
∴P点就是A点,
此时|PB-PC|的最大值为AC′,
∵AC=AC′,
∴|PB-PC|的最大值=2.

点评 本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,等边对等角的性质,轴对称的性质以及三角形的内角和定理,熟记各性质是解题的关键.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

15.解方程
(1)(x+2)2-25=0;                    (2)2y2-$\sqrt{2}$y-1=0;
(3)(x+2)2-3(x+2)-10=0;             (4)x2-4x+1=0(配方法).

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

16.到原点的距离不大于3的整数和为0.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

13.解决下面问题:
(1)阅读理解:如图①,在平面直角坐标系中,点A坐标为(1,2)连接OA并延长OA至A′,使OA′:OA=3:1,则点A′的坐标为(3,6);
(2)活动探索:(在下图中分别作出对应的图形,不要求用尺规作图)
活动一:如图②,在平面直角坐标系中,点T(1,1)、点E(2,3),连接TE并延TE长至点E′,使T E′:TE=3:1,则点E′的坐标为(4,7);
活动二:如图③,在平面直角坐标系中,点W(2,3)、点G(3,5),连接WG并延长WG至点G′,使WG′:WG=4:1,则点G′的坐标为(6,11);
(3)归纳猜想:
在平面直角坐标系中,若点M(a,b)、点P(x,y),连接MP并延长MP至点P′,使MP′:MP=n:1,则点P′的横坐标为nx-na+a,纵坐标为ny-nb+b.(用a,b,x,y,n表示,其中0<a<x,0<b<y,n为大于1的正整数)

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

20.于都梓山酱油以其色泽鲜艳、酱香浓郁、酱体醇厚而久负盛名,清朝曾列为贡品,某种梓山酱釉包装盒上标有“净含量1500±50ml”,表示用这种包装盒的酱油净含量最多不超过1550ml,最少不少于1450ml.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

10.已知三角形的两边长分别为2和7,第三边为奇数,则它第三边的长是7.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

17.计算:
(1)|-2|-(-2.5)-|1-4|
(2)$(-99\frac{8}{9})$×9
(3)(-18)÷2$\frac{1}{4}$×$\frac{4}{9}$÷(-24
(4)(-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$-$\frac{3}{8}$+$\frac{5}{12}$)×(-24)

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

14.若关于y的一元二次方程ky2-4y-3=3y+4有实根,求k的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

15.零上25摄氏度记作+25℃,那么零下10摄氏度记作-10℃.

查看答案和解析>>

同步练习册答案