Question

14．如图一，平行四边形ABCD，点M为AD的中点，过D点任意作一直线分别交BM、BC的延长线于E、F点，AF与BE交于N点．
（1）若CF=$\frac{1}{4}$BC，则$\frac{MD}{BF}$的值为$\frac{2}{5}$，$\frac{DE}{DF}$的值为$\frac{2}{3}$；
（2）求证：MN•EB=BN•ME；
（3）如图二，平行四边形ABCD中，若AB⊥BC，证明：∠EAD=∠FAD．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形ABCD，点M为AD的中点，得到DM=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，又CF=$\frac{1}{4}$BC，所以BF=BC+CF=BC+$\frac{1}{4}BC=\frac{5}{4}BC$，所以$\frac{MD}{BF}=\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{5}{4}BC}=\frac{2}{5}$；再根据AD∥BC，
所以得到$\frac{MD}{BF}=\frac{DE}{EF}=\frac{2}{5}$，所以$\frac{DE}{EF-DE}=\frac{2}{5-2}$，即$\frac{DE}{DF}=\frac{2}{3}$．
（2）由四边形ABCD是矩形，得到AD∥BC，进而得到△AMN∽△BFN，△EDM∽△EBF，所以$\frac{MN}{BN}=\frac{AM}{BF}，\frac{EM}{EB}=\frac{MD}{BF}$，因为AM=MD，所以$\frac{MN}{BN}=\frac{EM}{EB}$，即可得到结论．
（2）延长EA、FB交于点R，如图2，由三角形相似可证到$\frac{AM}{BR}=\frac{EM}{EB}，\frac{EM}{EB}=\frac{DM}{BF}$，再由AM=MD可得BR=BF，再由垂直平分线的性质可得到AR=AF，结合AD∥BC就可得∠EAD=∠FAD．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点M为AD的中点，
∴DM=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，
∵CF=$\frac{1}{4}$BC，
∴BF=BC+CF=BC+$\frac{1}{4}BC=\frac{5}{4}BC$，
∴$\frac{MD}{BF}=\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{5}{4}BC}=\frac{2}{5}$，
∵AD∥BC，
∴$\frac{MD}{BF}=\frac{DE}{EF}=\frac{2}{5}$，
∴$\frac{DE}{EF-DE}=\frac{2}{5-2}$，
即$\frac{DE}{DF}=\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{5}$，$\frac{2}{3}$．
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴△AMN∽△BFN，△EDM∽△EBF，
∴$\frac{MN}{BN}=\frac{AM}{BF}，\frac{EM}{EB}=\frac{MD}{BF}$，
∵AM=MD，
∴$\frac{MN}{BN}=\frac{EM}{EB}$，
∴MN•EB=BN•ME．
（3）证明：延长EA、FB交于点R，如图二，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴△EAM∽△ERB，△EDM∽△EFB．
∴$\frac{AM}{BR}=\frac{EM}{EB}，\frac{EM}{EB}=\frac{DM}{BF}$，
∴$\frac{AM}{BR}=\frac{DM}{BF}$，
∵AM=MD，
∴BR=BF，
∵AB⊥BC，
∴AR=AF，
∴∠R=∠AFR，
∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠R，∠FAD=∠AFR，
∴∠EAD=∠FAD．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的性质．本题在解决问题的过程中，用已有的经验得到角相等，用割补法和整体思想求出三角形的面积，综合性强，有一定的难度．而由平行线（矩形的性质）、角平分线（结论）联想到构造等腰三角形是解决第（3）小题的关键．