【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣5,0),B(1,0),C(0,)三点
(1)填空:抛物线的解析式是 ;
(2)①在抛物线的对称轴上有一点P,使PB+PC的值最小,求点P的坐标;
②点M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使以B,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x -2x+ ;(2)①点P的坐标是(﹣2,);②存在 ,满足题目条件的点N共有三个,分别为(﹣4,),(﹣2+,﹣)和(﹣2﹣,﹣).
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【解析】
(1)设抛物线的解析式为y=a(x+5)(x﹣1),再把C(0,)代入求出a的值,整理即可求得抛物线的解析式;(2)连接AC交抛物线的对称轴于点P,则P点即为所求,用待定系数法求得直线AC的解析式,由此即可求得点P的坐标;(3)分点N在x轴下方或上方两种情况求点N的坐标即可.
(1)设抛物线的解析式为:y=a(x+5)(x﹣1),
把(0,)代入得:﹣5a=,a=﹣,
∴抛物线的解析式是:y=﹣x -2x+;
故答案为: y=﹣x -2x+;
(2)①由题意知,点B关于抛物线对称轴的对称点为点A,如图1,连接AC交抛物线的对称轴于点P,则P点即为所求.
设直线AC的解析式为:y=kx+b,由题意,得,解得,
∴直线AC的解析式为:y=x+,
∵抛物线:y=﹣=﹣(x﹣2)2+,
∴对称轴是x=﹣2,
∴当x=﹣2时,y=x+=,
∴点P的坐标是(﹣2,).
②存在
( i)当存在的点N在x轴的上方时,如图2所示,
∵四边形BCNM1或四边形CNBM2是平行四边形,
∴CN∥x轴,
∴点C与点N关于对称轴x=﹣2对称,
∵C点的坐标为(0,),
∴点N的坐标为(﹣4,)
( II)当存在的点N在x轴下方时,如图3所示,作NH⊥x轴于点H,
∵四边形BCMN是平行四边形,
∴BC=MN,∠NMH=∠CBO,
∴Rt△CBO≌Rt△NMH,
∴NH=OC.
∵点C的坐标为(0,),
∴NH=,即N点的纵坐标为﹣,
∴﹣=﹣即x2+4x﹣10=0,
解得(就是点N1),,
∴点N的坐标为(﹣2+,﹣)和(﹣2﹣,﹣).
综上所述,满足题目条件的点N共有三个,分别为(﹣4,),(﹣2+,﹣)和(﹣2﹣,﹣).
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【题目】如图,五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'是位似图形,且位似比为2.如果五边形ABCDE的面积为16 cm2,周长为20 cm,那么五边形A'B'C'D'E'的面积为_______,周长为_______.
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【题目】如图是小李骑自行车离家的距离与时间之间的关系.
(1)在这个变化过程中自变量是______,因变量是______;
(2)小李何时到达离家最远的地方?此时离家多远?
(3)请直接写出小李何时与家相距?
(4)求出小李这次出行的平均速度.
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【题目】已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程(a﹣6)x2+2ax+a=0的两个实数根.
(1)求a的取值范围;
(2)若(x1+1)(x2+1)是负整数,求实数a的整数值.
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【题目】如图,在ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F,再分别以点B,F为圆心,大于BF的长为半径画弧,两弧交于一点P,连接AP并延长交BC于点E,连接EF.
(1)根据条件与作图信息知四边形ABEF是
A.非特殊的平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
(2)设AE与BF相交于点O,四边形ABEF的周长为16,BF=4,求AE的长和∠C的度数.
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【题目】某经销商准备进一批特色商品,经调查,用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍.一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元.
(1)求一件A,B型商品的进价分别是多少?
(2)若经销商购进A,B型商品共250件,试销A型商品售价为240元/件,B型商品售价为220元/件,且全部售出.已知购进B型商品m件,A型商品的件数不小于B型商品的件数,且B型商品的销量不小于80件,试求销售完这批商品的最大利润?
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【题目】如图,OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为原点,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=10,OC=8.在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折,使点O落在BC边上的点E处,求D,E两点的坐标.
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【题目】已知:△ABC在直角坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(0,3)、B(3,4)、C(2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度).
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1,点C1的坐标是 ;
(2)以点B为位似中心,在网格内画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且位似比为2:1,点C2的坐标是 .
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