Question

【题目】如图，已知在中，,以BC为直径作交于点，为AC边的中点，连接．

（1）求证：是的切线．

（2）①若AC=3,AE=1,求的半径；

②当 时，四边形是正方形．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①②

【解析】

（1）连接OE、CE，由圆周角定理得出∠BEC＝90°，则∠AEC＝90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出AD＝CD＝DE，由等腰三角形的性质得出∠DEC＝∠DCE，∠OCE＝∠OEC，证出∠OED＝90°，即可得出结论；

（2）①由勾股定理求出CE＝2，证△OCE∽△DAE，得出比例式，求出OC的长即可；

②证△ABC是等腰直角三角形，得出∠ABC＝45°，证四边形OCDE是矩形，由OC＝OE，即可得出四边形OCDE是正方形．

（1）证明：连接OE、CE，如图所示：

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BEC＝90°，

∴∠AEC＝90°，

∵D是AC的中点，

∴DE＝AC＝AD＝CD，

∴∠DEC＝∠DCE，

∵OC＝OE，

∴∠OCE＝∠OEC，

∵∠ACB＝90°，

∴∠DEC＋∠OEC＝∠DCE＋∠OCE＝∠ACB＝90°，

∴∠OED＝90°，即OE⊥DE，

∵E为⊙O上的点，

∴DE是⊙O的切线；

（2）解：①∵AC＝3，

∴AD＝DE＝AC＝，

∵∠AEC＝90°，

∴CE＝，

∵∠BEC＝90°，

∴∠CBE＋∠OCE＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠CBE＋∠DAE＝90°，

∴∠OCE＝∠DAE，

∵AD＝DE，OC＝OE，

∴∠OCE＝∠OEC＝∠DAE＝∠DEA，

∴△OCE∽△DAE，

∴，

即，

解得：OC＝，

故半径长为；

②当∠A＝45°时，四边形OCDE是正方形；理由如下：

∵∠A＝45°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ABC＝45°，

∵OB＝OE，

∴∠OBE＝∠OEB＝45°，

∴∠COE＝∠OBE＋∠OEB＝45°＋45°＝90°，

∵∠ACB＝90°，∠OED＝90°，

∴四边形OCDE是矩形，

∵OC＝OE，

∴四边形OCDE是正方形；

故答案为：45°．