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    如果记y=
    x2
    1+x2
    =f(x)    ，并且f（1）表示x=1时y的值，即f(1)=
    1
    1+1
    =
    1
    2
    ，f(
    1
    2
    )    表示x=
    1
    2
    时y的值，即f(
    1
    2
    )=
    1
    2
    1+(
    1
    2
    )    2
    =
    1
    5
    ，那么f(1)+f(2)+f(
    1
    2
    )+f(3)+f(
    1
    3
    )+…+f(n)+f(
    1
    n
    )    =
     

    （结果用含n的代数式表示，n为正整数．）
    分析：首先利用分式的加减运算法则求得f（n）+f（
    1
    n
    ）的值，然后利用加法的结合律，即可求得f（1）+f（2）+f（
    1
    2
    ）+f（3）+f（
    1
    3
    ）+…+f（n）+f（
    1
    n
    ）的值．
    解答：解：∵f（n）+f（
    1
    n
    ）=
    n2
    1+n2
    +
    (
    1
    n
    )    2
    1+(
    1
    n
    )    2
    =
    n2
    1+n2
    +
    1
    1+n2
    =
    1+n2
    1+n2
    =1，
    ∴f（1）+f（2）+f（
    1
    2
    ）+f（3）+f（
    1
    3
    ）+…+f（n）+f（
    1
    n
    ）=f（1）+[f（2）+f（
    1
    2
    ）]+[f（3）+f（
    1
    3
    ）]+…+[f（n）+f（
    1
    n
    ）]=
    1
    2
    +1+1+…+1=
    1
    2
    +（n-1）=n-
    1
    2
    ．
    故答案为：n-
    1
    2
    ．
    点评：此题考查了分式的加减运算法则．此题难度适中，解题的关键是发现规律：f（n）+f（
    1
    n
    ）=1，然后利用加法的结合律求解即可．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如果记y=
    x2
    1+x2
    =f(x)    ，并且表示当x=1时y的值，即f(1)=
    12
    1+12
    =
    1
    2
    ；f(
    1
    2
    )    表示当x=
    1
    2
    时y的值，即f(
    1
    2
    )=
    (
    1
    2
    )    2
    1+(
    1
    2
    )    2
    =
    1
    5
    ，┉那么f(1)+f(2)+f(
    1
    2
    )+f(3)+f(
    1
    3
    )+…+f(2009)+f(
    1
    2009
    ))    =
     
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如果记y=
    x2
    1+x2
    =f(x)    ，并且f（1）表示当x=1时，y的值，即f(1)=
    12
    1+12
    =
    1
    2
    ，同理f(
    1
    2
    )    表示当x=
    1
    2
    时y的值，即f(
    1
    2
    )=
    (
    1
    2
    )    2
    1+(
    1
    2
    )    2
    =
    1
    5
    ，…那么f(1)+f(2)+f(
    1
    2
    )+f(3)+f(
    1
    3
    )+…+f(n)+f(
    1
    n
    )    =
     
    （结果用含有n的代数式表示，n为正整数）（说明：通常在高中我们表示函数时候，习惯用f（x）表示以自变量x的函数值，如初中我们的函数y=2x-3，我们在高中就将其表示为f（x）=2x-3）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如果记y=
    x2
    1+x2
    =f（x），并且f（1）表示当x=1时y的值，即f（1）=
    12
    1+12
    =
    1
    2
    ；f（
    1
    2
    ）表示当x=
    1
    2
    时y的值，即f（
    1
    2
    ）=
    (
    1
    2
    )    2
    1+(
    1
    2
    )    2
    =
    1
    5
    ，那么f（1）+f（2）+f（
    1
    2
    ）+f（3）+f（
    1
    3
    ）+…+f（n）+f（
    1
    n
    ）=
     
    ．（结果用含n的代数式表示，n为正整数）．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如果记y=
    x2
    1+x2
    ，并且f（1）表示当x=1时y的值，即 f(1)=
    12
    1+12
    =
    1
    2
    ；f(
    1
    2
    )     表示当x=
    1
    2
    时y的值，即f(
    1
    2
    )=
    (
    1
    2
    )2
    1+(
    1
    2
    )2
    =
    1
    5
    ；…那么 f(1)+f(2)+f(
    1
    2
    )+f(3)+f(
    1
    3
    )+…+f(n)+f(
    1
    n
    )    =
    n-
    1
    2
    n-
    1
    2
    ．（结果用含n的代数式表示，n为正整数）

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