【题目】抛物线与轴交于,两点,与轴交于点,且.直线与抛物线交于,两点,与轴交于点,点是抛物线的顶点,设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为.
(1)连接,求证:四边形是平行四边形;
(2)连接,,当为何值时?
(3)在直线上是否存在一点,使为等腰直角三角形?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)0或1;(3)存在,或
【解析】
(1)分别求出点A,B,E的坐标,设抛物线的解析式为交点式,代入点C的坐标,求出抛物线的解析式,进而可求出CQ的长和直线CQ的解析式,同时求出AE的长和AE的解析式,推出,CQ∥AE即可证得四边形是平行四边形;
(2)根据题意将△APD的面积和△DAB的面积表示出来,令其相等,即可解出m的值;
(3)分∠QOH=90°、∠PQH=90°、∠QHP=90°三种情况,分别求解即可.
解:(1)证明:连接,,如图所示,直线与抛物线交于点,则点,点.∵,,∴点的坐标为,
设抛物线的表达式为,将点的坐标代入,得,
解得,∴抛物线的表达式为,
∴抛物线的对称轴为直线,故点的坐标为.∴,
的解析式为,又∵,直线的解析式为,
∴,CQ∥AE,∴四边形是半行四边形.
(2)∵,∴,,∴点的坐标为.
如图1,过点作轴的平行线,交于点,设点,则点,
∴,
解得或1.
(3)存在,点的坐标为或或.
设点,点,,而点,
①当时,如图2,过点作轴的平行线,过点,点作轴的平行线,交过点且平行于轴的直线于点,,
∵,,
∴,∵,,
∴,∴,,
即,,解得.当时,,解得,(舍去)∴点.
②当时,如图3所示,
同理可得,(舍去),故点坐标为.
③当时,如图4所示,
同理可得,解得(舍去),.点.
综上可得,点的坐标为或.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,AB∥DC,AB=BC,BD平分∠ABC,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若AB=2,BD=4,求OE的长.
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【题目】为了争创全国文明城市“六连冠”,写好2020年包头文明“答卷”,我市某班学生开展主题为“垃圾分类知多少”的专题调查活动,采取随机抽样的方式对全年级同学进行卷调查,问卷调查的结果分为“非常了解”“比较了解”“基本了解”“不太了解”四个等级,划分等级后的数据整理如下表:
同时该班又抽取了班里的8名学生(分别为,,,,,,,),进行垃圾分类投放检测,检测结果如下表)其中“√”表示投放正确,“×”表示投放错误.
根据上表回答问题:
(1)求本次问卷调查取样的样本容量和表中的值;
(2)检测结果中,有几名学生正确投放了至少三类垃圾?请列举出这几名学生;
(3)为进一步了解学生垃圾分类的投放情况,从检测结果是“有害垃圾”投放错误的学生巾随机抽取2名进行访谈,请用列表或树状图法求抽到学生的概率.
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【题目】刘同学在课外活动中观察吊车的工作过程,绘制了如图所示的平面图形.已知吊车吊臂的支点距离地面的高米.米,当吊臂顶端由点抬升至点(吊臂长度不变时),地面处的重物(大小忽略不计)被吊至处,紧绷着的吊缆.且.
(1)求此重物在水平方向移动的距离及在竖直方向移动的距离;
(2)若这台吊车工作时吊杆最大水平旋转角度为,吊杆与水平线的倾角可以从转到,求吊车工作时,工作人员不能站立的区域的面积.
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【题目】随着对国产芯片的研发与制造的重视,我国逐渐摆脱依赖进口而受限于西方国家的状况.近日“中国芯”制造工艺又迎来一项重大突破,继华为推出麒麟9905C芯片之后,中科院又成功研发出了生产2 nm(纳米)及以下芯片工艺所需要的新型晶体管——叠层垂直纳米环栅晶体管.据此,我国成为全球首个具有自对准栅极的叠层垂直纳米环栅晶体管的国家.2纳米就是0.000000002米,0.000000002这个数用科学记数法表示为____.
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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,连接AC,BC.OE∥BC交AC于E,过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点D,连接DC并延长交AB的延长线于点F.
(1)求证:DC是⊙O的切线;
(2)若∠BAC=30°,AB=4,直接写出线段CF的长.
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