Question

20．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC：∠BAD=1：2，BE∥AC，CE∥BD．
（1）求tan∠DBC的值；
（2）求证：四边形OBEC是矩形．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是菱形，得到对边平行，且BD为角平分线，利用两直线平行得到一对同旁内角互补，根据已知角之比求出相应度数，进而求出∠BDC度数，即可求出tan∠DBC的值；
（2）由四边形ABCD是菱形，得到对角线互相垂直，利用两组对边平行的四边形是平行四边形，再利用有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证．

解答 （1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠ABC：∠BAD=1：2，
∴∠ABC=60°，
∴∠BDC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
则tan∠DBC=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠BOC=90°，
∵BE∥AC，CE∥BD，
∴BE∥OC，CE∥OB，
∴四边形OBEC是平行四边形，
则四边形OBEC是矩形．

点评 此题考查了矩形的判定，菱形的性质，以及解直角三角形，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．