Question

【题目】如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c(c＞0)的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A(点A在对称轴左侧)，点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB．

(1)如图1，当AC∥x轴时，

①已知点A的坐标是(﹣2，1)，求抛物线的解析式；

②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c．

(2)如图2，若b＝﹣2，＝，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)①y＝﹣x2﹣2x+1；②证明见解析；(2)存在这样的点A，A(﹣，)

【解析】

(1)①由点A(﹣2，1)得到C(0，1)，利用待定系数法即可求解；

②作DE⊥x轴于E，交AB于点F，利用顶点坐标及点C的坐标求得DF＝，利用“AAS”证得△AFD≌△BCO，得到DF＝OC，即可证得结论；

(2)由题意知顶点坐标D(﹣1，c+1)，设点A(m，﹣m2﹣2m+c)，利用“AAS”证得△AFD≌△BCO，作如图的辅助线，证得△ANF∽△AMC，结合已知＝，求得，利用比例线段即可求解．

(1)①∵AC∥x轴，点A(﹣2，1)，

∴C(0，1)，

将点A(﹣2，1)，C(0，1)代入抛物线解析式中，得：

，

∴，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+1；

②如图1，过点D作DE⊥x轴于E，交AB于点F，

∵AC∥x轴，

∴EF＝OC＝c，

∵点D是抛物线的顶点坐标，

∴D(，)，

∴DF＝DE﹣EF＝＝，

∵四边形AOBD是平行四边形，

∴AD＝OB，AD∥OB，

∴∠DAF＝∠OBC，

∵∠AFD＝∠BCO＝90°，

∴△AFD≌△BCO(AAS)，

∴DF＝OC，

∴＝c，

即b2＝4c；

(2)如图2，

∵b＝﹣2．

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+c，

∴顶点坐标D(﹣1，c+1)，

假设存在这样的点A使四边形AOBD是平行四边形，

设点A(m，﹣m2﹣2m+c)(m＜0)，

过点D作DE⊥x轴于点E，交AB于F，

∴∠AFD＝∠EFC＝∠BCO，

∵四边形AOBD是平行四边形，

∴AD＝BO，AD∥OB，

∴∠DAF＝∠OBC，

∴△AFD≌△BCO(AAS)，

∴AF＝BC，DF＝OC，

过点A作AM⊥y轴于M，交DE于N，

∴DE∥CO，

∴△ANF∽△AMC，

∴＝，

∵AM＝﹣m，AN＝AM﹣NM＝﹣m﹣1，

∴，

∴，

∴点A的纵坐标为﹣(﹣)2﹣2×(﹣)+c＝c﹣＜c，

∵AM∥x轴，

∴点M的坐标为(0，c﹣)，N(﹣1，c﹣)，

∴CM＝c﹣(c﹣)＝，

∵点D的坐标为(﹣1，c+1)，

∴DN＝(c+1)﹣(c﹣)＝，

∵DF＝OC＝c，

∴FN＝DN﹣DF＝﹣c，

∵＝，

∴，

∴c＝，

∴c﹣＝，

∴点A纵坐标为，

∴A(﹣，)，

∴存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形．