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研究发现,二次函数y=ax2(a≠0)图象上任何一点到定点(0,数学公式)和到定直线数学公式的距离相等.我们把定点(0,数学公式)叫做抛物线y=ax2的焦点,定直线数学公式叫做抛物线y=ax2的准线.
(1)写出函数数学公式图象的焦点坐标和准线方程;
(2)等边三角形OAB的三个顶点都在二次函数数学公式图象上,O为坐标原点,求等边三角形的边长;
(3)M为抛物线数学公式上的一个动点,F为抛物线数学公式的焦点,P(1,3)为定点,求MP+MF的最小值.

解:(1)由题意得,焦点坐标为:(0,1),准线方程为:y=-1;

(2)
设A(x,y),B(-x,y),
∵△OAB是等边三角形,
∴∠AOE=∠AOB=30°,
∴y=x,
将点A坐标(x,y)=(x,x)代入函数解析式,可得x=x2
解得:x=4
故可得点A坐标为(4,12),三角形的边长=OA==8

(3)
过点M作MN⊥准线,交准线于点N,
则由题意可得,MN=MF,
故可得:MP+MF=MP+MN,
结合图形可得过点P作PE⊥准线,交准线于点E,则PE于抛物线的交点M'能满足MP+MF最小,
此时M'P+M'F=PE=4.
分析:(1)根据焦点坐标为(0,),准线方程为,即可得出答案.
(2)根据题意可设A(x,y),B(-x,y),从而根据等边三角形及抛物线的性质可得出∠AOE=30°,继而可得出|y|=|x|,代入可得出x和y的值,也可求出等边三角形的边长.
(3)点P到点F的距离等于点P到准线的距离,从而根据垂线段最短的知识可找到点M的位置,结合图形可得出这个最小值.
点评:此题考查了二次函数的综合题,解答本题的关键是仔细审题得出函数的准线与焦点,综合性较强,注意解答过程中将所学知识融会贯通.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时,发现了两个重要结论.一是发现抛物线y=ax2+2x+3(a≠0),当实数a变化时,它的顶点都在某条直线上;二是发现当实数a变化时,若把抛物线y=ax2+2x+3的顶点的横坐标减少
1
a
,纵坐标增加
1
a
,得到A点的坐标;若把顶点的横坐标增加
1
a
,纵坐标增加
1
a
,得到B点的坐标,则A、B两点一定仍在抛物线y=ax2+2x+3上.
(1)请你协助探求出当实数a变化时,抛物线y=ax2+2x+3的顶点所在直线的解析式;
(2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点,你能找出它来吗?并说明理由;
(3)在他们第二个发现的启发下,运用“一般-一特殊-一般”的思想,你还能发现什么?你能用数学语言将你的猜想表述出来吗?你的猜想能成立吗?若能成立请说明理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:

(2012•鼓楼区一模)某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2-2mx+3(m≠0)的图象发现,随着m的变化,这个二次函数的图象形状与位置均发生变化,但这个二次函数的图象总经过两个定点,请你写出这两个定点的坐标:
(0,3),(2,3)
(0,3),(2,3)

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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

阅读下面的材料:
小明在学习中遇到这样一个问题:若1≤x≤m,求二次函数y=x2-6x+7的最大值.他画图研究后发现,x=1和x=5时的函数值相等,于是他认为需要对m进行分类讨论.
他的解答过程如下:
∵二次函数y=x2-6x+7的对称轴为直线x=3,
∴由对称性可知,x=1和x=5时的函数值相等.
∴若1≤m<5,则x=1时,y的最大值为2;
若m≥5,则x=m时,y的最大值为m2-6m+7.
请你参考小明的思路,解答下列问题:
(1)当-2≤x≤4时,二次函数y=2x2+4x+1的最大值为
49
49

(2)若p≤x≤2,求二次函数y=2x2+4x+1的最大值;
(3)若t≤x≤t+2时,二次函数y=2x2+4x+1的最大值为31,则t的值为
1或-5
1或-5

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科目:初中数学 来源:2008年北京市石景山区初三二模数学试题 题型:044

研究发现,二次函数y=ax2(a≠0)图象上任何一点到定点(0,)和到定直线的距离相等.我们把定点(0,)叫做抛物线y=ax2的焦点,定直线叫做抛物线u=ax2的准线.

(1)写出函数图象的焦点坐标和准线方程;

(2)等边三角形OAB的三个顶点都在二次函数图象上,O为坐标原点,

求等边三角形的边长;

(3)M为抛物线上的一个动点,F为抛物线的焦点,P(1,3)

为定点,求MP+MF的最小值.

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