如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，直线BD平分∠OBA，交x轴于D点．

（1）连接AB的中点M交BD于N，求证：ON=OD．
（2）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接PB，并作等腰直角三角形BPF，其中∠BPF=90°，连接FA并延长交y轴于G点，当P点在运动时，OG的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．

分析：（1）根据直线解析式求出点A、B的坐标，然后得出△AOB是等腰直角三角形，再根据角平分线的定义求出∠ABD=22.5°，根据等腰三角形三线合一的性质OM⊥AB，然后根据直角三角形两锐角互余的性质与三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠OND=67.5°，∠ODB=67.5°，利用等角对等边得到ON=OD；
（2）延长AE交BO于C，得△ABE≌△CBE，得到AC=2AE，再证△OAC≌△OBD得到BD=AE，从而得到BD=2AE；
（3）作FH⊥OP，垂足为H，利用角角边定理可以证明△OBP与△HPF全等，根据全等三角形对应边相等可得FH=OP、PH=OB=4，再证AH=FH，∠FAH=∠OAG=45°，OG=OA=4．

解答：（1）证明：∵直线y=-x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，
当x=0时，y=4，
当y=0时，-x+4=0，
解得x=4，
∴点A、B的坐标是A（4，0），B（0，4），
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵点M是AB的中点，
∴OM⊥AB，
∴∠MOA=45°，
∵直线BD平分∠OBA，
∴∠ABD=

∠ABO=22.5°，
∴∠OND=∠BNM=90°-∠ABD=90°-22.5°=67.5°，
∠ODB=∠ABD+∠BAD=22.5°+45°=67.5°，
∴∠OND=∠ODB，
∴ON=OD（等角对等边）；（3分）

（2）答：BD=2AE．（4分）
理由如下：延长AE交BO于C，
∵BD平分∠OBA，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AE⊥BD于点E，
∴∠AEB=∠CEB=90°，
在△ABE≌△CBE中，

∠ABD=∠CBD

BE=BE

∠AEB=∠CEB=90°

，

∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AE=CE，
∴AC=2AE，（5分）
∵AE⊥BD，
∴∠OAC+∠ADE=90°，
又∠OBD+∠BDO=90°，∠ADE=∠BDO（对顶角相等），
∴∠OAC=∠OBD，
在△OAC与△OBD中，

∠OAC=∠OBD

OA=OB

∠BOD=∠AOC

，
∴△OAC≌△OBD（ASA），
∴BD=AC，
∴BD=2AE；（7分）

（3）解：OG的长不变，且OG=4．（8分）
过F作FH⊥OP，垂足为H，
∴∠FPH+∠PFH=90°，
∵∠BPF=90°，
∴∠BPO+∠FPH=90°，
∴∠FPH=∠BPO，
∵△BPF是等腰直角三角形，
∴BP=FP，
在△OBP与△HPF中，

∠FPH=∠BPO

∠BOP=∠FHP=90°

BP=FP

，
∴△OBP≌△HPF（AAS），
∴FH=OP，PH=OB=4，（10分）
∵AH=PH+AP=OB+AP，OA=OB，
∴AH=OA+OP=OP，
∴FH=AH，
∴∠GAO=∠FAH=45°，
∴△AOG是等腰直角三角形，
∴OG=OA=4．（12分）

点评：本题综合考查了一次函数，全等三角形的判定与全等三角形的性质，以及等腰直角三角形的性质，角平分线的定义，等腰三角形三线合一的性质，综合性较强，求解比较繁琐，但只要仔细分析，认真求解也不难解决，难度较大．

练习册系列答案

暑假作业与生活陕西师范大学出版总社有限公司系列答案

暑假作业人民教育出版社系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：

23、在数学上，为了确定平面上点的位置，我们常用下面的方法：如图甲，在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，通常一条画成水平，叫x轴，另一条画成铅垂，叫y轴，这样，我们就说在平面上建立了一个平面直角坐标系，这是由法国数学家和哲学家笛卡尔创立的，这样我们就能确定平面上点的位置，例如，要确定点M的位置，只要作MP⊥x轴，MP⊥y轴，设垂足N，P在各自数轴上所表示的数分别为x，y，则x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，有序数对（x，y）叫做M点的坐标，如图甲，点M的坐标记作（2，3），（1）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图乙，请把△ABC向右平移3个单位，在平面直角坐标系中画出平移后的△A′B′C′；
（2）请写出平移后点A′的坐标，记作

（2，2）

．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：