Question

9．（1）如图①，点E是正方形ABCD边BC上任意一点，过点C作直线CF⊥AE，垂足为点H，直线CF交直线AB于点F，过点E作EG∥AB，交直线AC于点G．则线段AD，EG，BF之间满足的数量关系是AD=EG+BF；
（2）如图②，若点E在边CB的延长线上，其他条件不变，则线段AD，EG，BF之间满足的数量关系是AD=EG-BF，证明你的结论；
（3）如图③，在（2）的条件下，若正方形ABCD的边长为4，tan∠F=$\frac{2}{3}$，将一个45°角的顶点与点A重合，并绕点A旋转，这个角的两边分别交直线EG于M，N两点．当EN=2时，求线段GM的长．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出AD=AB=BC，∠ABC=90°，∠ACB=45°，由平行线的性质得出∠CEG=∠ABC=90°，得出△CEG是等腰直角三角形，EG=CE，由AAS证明△ABE≌△CBF，得出对应边相等BE=BF，即可得出AD=EG+BF；
（2）由正方形的性质得出AD=AB=BC，∠ABC=90°，∠ACB=45°，由平行线的性质得出∠CEG=∠ABC=90°，得出△CEG是等腰直角三角形，EG=CE，由AAS证明△ABE≌△CBF，得出BE=BF，即可得出AD=EG-BF；
（3）过A作AP⊥EG于P，过M作MQ⊥AG于Q，则四边形ABEP为矩形，得出AB=PE，AP=BE，由正方形的性质得出AB=BC=AD=PE=4，由三角函数得出BE=BF=AP=6，得出PN=2，证明△AQM∽△APN，得出对应边成比例，AQ=3QM，由勾股定理求出AG，证明△AGP∽△GMQ，得出对应边成比例，GM=$\sqrt{2}$QM，设GM=x，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）AD=EG+BF，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC，∠ABC=90°，∠ACB=45°，
∵EG∥AB，
∴∠CEG=∠ABC=90°，
∴△CEG是等腰直角三角形，
∴EG=CE，
∵CF⊥AE，垂足为点H，
∴∠CHE=∠CBF=90°，
∴∠F=∠CEH，
∵∠CEH=∠AEB，
∴∠F=∠AEB，
在△ABE和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠AEB}\\{∠ABE=∠CBF=90°}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴BE=BF，
∴BC=EC+BE=EG+BF，
∴AD=EG+BF；
故答案为：AD=EG+BF；
（2）AD=EG-FB，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC，∠ABC=90°，∠ACB=45°，
∵EG∥AB，
∴∠CEG=∠ABC=90°，
∴△CEG是等腰直角三角形，
∴EG=CE，
∵CF⊥AE，垂足为点H，
∴∠FHA=∠FBC=∠ABE=90°，
∴∠FAH=∠BCF，
∵∠FAH=∠BAE，
∴∠BCF=∠BAE，
在△ABE和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FBC=∠ABE}\\{∠BCF=∠BAE}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴BE=BF，EG=CE=BE+BC=BF+AD，
∴AD=EG-BF；
故答案为：AD=EG-BF；
（3）过A作AP⊥EG于P，过M作MQ⊥AG于Q，如图所示：
则四边形ABEP为矩形，
∴AB=PE，AP=BE，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AB=BC=AD=PE=4，
∵tan∠F=$\frac{BC}{BF}$=$\frac{2}{3}$，
∴BF=$\frac{4×3}{2}$=6，
∴BE=BF=AP=6，
∵EN=2，
∴PN=2，
∵∠PAQ=∠MAN=45°，
∴∠MAQ=∠NAP，
∵∠APN=∠AQM=90°，
∴△AQM∽△APN，
∴$\frac{AQ}{AP}=\frac{QM}{PN}$，
即$\frac{AQ}{6}=\frac{QM}{2}$，
∴AQ=3QM，
∵△APG是等腰直角三角形，
∴AG=$\sqrt{2A{P}^{2}}$=$\sqrt{2×{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∵∠G=∠G，∠GQM=∠APG=90°，
∴△AGP∽△GMQ，
∴$\frac{GM}{AG}=\frac{QM}{AP}$，
即$\frac{GM}{6\sqrt{2}}=\frac{QM}{6}$，
∴GM=$\sqrt{2}$QM，
设GM=x，
∵GM²=QM²+（AG-AQ）²，
则x²=（$\frac{x}{\sqrt{2}}$）²+（6$\sqrt{2}$-$\frac{3x}{\sqrt{2}}$）²，
解得：x=3或x=6（不合题意，舍去），
∴GM=3．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通过作辅助线证明两次三角形相似才能得出结果．