Question

【题目】如图，在等边△ABC中，点E为边AB上任意一点，点D在边CB的延长线上，且ED＝EC.

(1)当点E为AB的中点时(如图1)，则有AE DB(填“＞”“＜”或“＝”)；

(2)猜想AE与DB的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

【答案】(1)=; (2)见解析

【解析】试题分析：

（1）△BCE中可证，∠BCE=30°，又EB=EC，则∠D=∠ECB=30°，所以△BCE是等腰三角形，结合AE=BE即可；

（2）过E作EF∥BC交AC于F，用AAS证明△DEB≌△ECF．

试题解析：

（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC.

∵E为AB的中点，所以∠BCE=30°.

∵ED=EC，∴∠D=∠BCE=30°，∴∠BED=30°，∴∠D=∠BED，∴BD=BE，

∴BD=AE.

（2）当点E为AB上任意一点时，AE与DB的大小关系不会改变．理由如下：

过E作EF∥BC交AC于F，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC.

∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°.

∴△AEF是等边三角形．∴AE＝EF＝AF.

∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°，

∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D＋∠BED＝∠FCE＋∠ECD＝60°.

∵DE＝EC，∴∠D＝∠ECD.∴∠BED＝∠ECF.

在△DEB和△ECF中，

∴△DEB≌△ECF(AAS)．

∴BD＝EF＝AE，即AE＝BD.