Question

18．如图，在正方形ABCD中，AB=$\sqrt{2}$，点P为边AB上一动点（不与A、B重合），过A、P在正方形内部作正方形APEF，交边AD于F点，连接DE、EC，当△CDE为等腰三角形时，AP=$\sqrt{2}$-1或$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 分两种情形①当CD=CE=$\sqrt{2}$时，②当ED=EC时，根据等腰直角三角形的性质求出AE即可解决问题．

解答 解：连接AE，
∵四边形ABCD、APEF是正方形，
∴A、E、C共线，
①当CD=CE=$\sqrt{2}$时，AE=AC-EC=2-$\sqrt{2}$，
∴AP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE=$\sqrt{2}$-1
②当ED=EC时，∠DEC=90°，∠EDC=∠ECD=45°，EC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD=1，
∴AE=AC-EC=1，
∴AP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴当△CDE为等腰三角形时，AP=$\sqrt{2}$-1或$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为$\sqrt{2}$-1或$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查正方形的性质、等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用等腰直角三角形的性质，记住等腰直角三角形的斜边等于直角边的$\sqrt{2}$倍，属于中考常考题型．