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19.如图,已知点D是边长为1的等边三角形ABC的内心,点E,F分别在边AB,AC上,且满足∠EDF=60°,求△AEF的周长.

分析 连接AD、CD、EF,在AC上取点G使CG=AE,证明△EAD≌△GCD,得到DE=DG,∠EDA=∠GDC,证明△FDE≌△FDG,得到答案.

解答 解:连接AD、CD、EF,在AC上取点G使CG=AE,
∵△ABC是等边三角形,点D是内心,
∴∠EAD=∠GCD=30°,
在△EAD和△GCD中,
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CG}\\{∠EAD=∠GCD}\\{DA=DC}\end{array}\right.$,
∴△EAD≌△GCD,
∴DE=DG,∠EDA=∠GDC,
∴∠FDG=60°,
在△FDE和△FDG中,
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DG}\\{∠FDE=∠FDG}\\{DF=DF}\end{array}\right.$,
∴△FDE≌△FDG,
∴FG=EF,
则△AEF的周长=AE+EF+AF=AF+FG+CG=1.

点评 本题考查的是三角形的内心的概念和性质、等边三角形的性质,掌握等边三角形的内心和外心重合是解题的关键.

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