Question

如图，在平面直角坐标系中，☉O的半径为5．弦AB平行于x轴，且AB=8．
（1）求B点坐标

（2）☉O交y轴负半轴于点C，P为上一动点，连PA、PB、PC，过C作CD⊥BP，交BP的延长线于点D．求证：

（3）过点B作弦BM、BN，与x轴分别交于E、F，BE=BF，连接MN与x轴交于H．当M、N两点运动时，判断①∠BOE+∠BNH是定值；②∠BOE+∠OHM是定值，哪一个结论正确，说明理由并求出定值．

Answer 1

（1）解：连接OB，如图1，
∵AB∥x轴，
∴AB⊥y轴
∴BD=AB=4，
∴OD===3，
∴B点坐标为（4，3）；

（2）证明：如图2，连接AC、BC，作CG⊥AP于点G．
∵AC=BC（等腰三角形“三合一”的性质），
∴∠CAB=∠CBA（等边对等角）．
又∵∠CPD+∠CPB=180°，∠CPB+∠CAB=180°（圆内接四边形的对角互补），∠ABC=∠APC（同弧所对的圆周角相等），
∴∠CPD=∠CAB=∠CBA=∠APC（等量代换），即CP为∠APD的角平分线．
而CG⊥AP，CD⊥BP，
∴GP=DP（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．
在Rt△CGP和Rt△CDP中，
∵，
∴Rt△CGP≌Rt△CDP（HL），
∴CD=CG（全等三角形的对应边相等）．
在Rt△BCD和Rt△ACG中，
∵，
∴Rt△BCD≌Rt△ACG（HL），
∴AG=BD（全等三角形的对应边相等），
∴PA-PB=AG+PG-PB=BD+PD-PB=2PD（等量代换），
∴=2；

（3）解：当M、N两点运动时，∠BOE+∠OHM是定值．理由如下：
如图3，过点B作BP⊥EF于点P，并延长BP交⊙O于点Q，连接OQ，交BM于点T，设⊙O与x正半轴交于点I．则=，
∴∠BOH=∠QOH，
∵BE=BF，BQ⊥EF，
∴BQ平分∠NBM，
∴=，
∴OQ⊥MN，
∴∠OHM+∠QOH=90°，
∴∠BOE+∠OHM=90°，即∠BOE+∠OHM是定值．
分析：（1）连接OH，根据勾股定理求得OC=3，从而得出点H的坐标；
（2）连接AC、BC，作CG⊥AP于点G．由邻补角的定义、圆内接四边形的对角互补、圆周角定理以及等量代换，得∠CPD=∠CAB=∠CBA=∠APC（等量代换），即CP为∠APD的角平分线．然后通过全等三角形Rt△CGP≌Rt△CDP（HL）的对应边相等、全等三角形Rt△BCD≌Rt△ACG（HL）的对应边相等证得的值；
（3）过点B作BP⊥EF于点P，并延长BP交⊙O于点Q，连接OQ，交BM于点T，设⊙O与x正半轴交于点I．则=，则∠BOH=∠QOH，由△DEF是等腰三角形，得=，则∠OHM+∠QOH=90°，从而得出∠BOE+∠OHM=90°，即∠BOE+∠OHM是定值．
点评：本题考查了圆周角定理及其推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半；直径所对的圆周角为直角．也考查了垂径定理以及角平分线的定义．