Question

如图，已知直线y=4-x与反比例函数y=（m＞0，x＞0）的图象交于A，B两点，与x轴，y轴分别相交于C，D两点．
（1）如果点A的横坐标为1，利用函数图象求关于x的不等式4-x＜的解集；
（2）是否存在以AB为直径的圆经过点P（1，0）？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）将x=1代入直线y=4-x得，y=4-1=3，
则A点坐标为（1，3），
将A（1，3）代入y=（m＞0，x＞0）得，
m=3，
则反比例函数解析式为y=，
组成方程组得，
解得，x₁=1，x₂=3，则B点坐标为（3，1）．
当不等式4-x＜时，x＜1或x＞3．

（2）点A、B在直线y=4-x上，则可设A（a，4-a），B（b，4-b）．
如右图所示，过点A作AD⊥x轴于点D，则AD=4-a，PD=1-a；
过点B作BE⊥x轴于点E，则BE=4-b，PE=b-1．
∵点P在以AB为直角的圆上，
∴∠APB=90°（圆周角定理）．
易证Rt△ADP∽Rt△PEB，
∴，即，
整理得：5（a+b）-2ab=17 ①
∵点A、B在双曲线y=上，
∴a（4-a）=m，b（4-b）=m，
∴a²-4a+m=0，b²-4b+m=0，
∴a、b是一元二次方程x²-4x+m=0的两个根，
∴a+b=4，ab=m．
代入①式得：5×4-2m=17，
解得：m=．
∴存在以AB为直径的圆经过点P（1，0），此时m=．
分析：（1）首先求出A点坐标，把将A（1，3）代入y=求出m，联立函数解析式求出B点坐标，进而求出不等式的解集；
（2）点A、B在直线y=4-x上，则可设A（a，4-a），B（b，4-b）；以AB为直径的圆经过点P（1，0），则由圆周角定理得∠APB=90°，易证Rt△ADP∽Rt△PEB，列比例式求得a、b的关系式为：5（a+b）-2ab=17 ①；而点A、B又在双曲线上，可推出a、b是一元二次方程x²-4x+m=0的两个根，得a+b=4，ab=m，代入①式求出m的值．
点评：本题主要考查反比例函数的综合题，解答本题的关键是熟练反比例函数和一次函数的性质，解答本题（2）问的时候一定注意三点构成圆的条件，此题难度较大．