Question

若P为∠AOB的角平分线上任意一点，C、D分别在OA、OB上且PC=PD，则∠OCP与∠ODP的关系为

 

．

Answer 1

分析：此题要分两种情况：①PC=PD；②PC=PD′．
①首先过P向两边作垂线PE⊥OA，PF⊥OB，再证明Rt△CEP≌Rt△DFP，然后利用三角形外角与内角的关系证明∠EPC=∠FPD；
②同①的作法相同证明∠OCP=∠BD′P，后即可得到∠OCP+∠OD′P=180°．

解答：解：①过P作PE⊥OA，PF⊥OB，
∵OP平分∠AOB，
∴PE=PF，
在Rt△CEP和Rt△DFP中

PC=PD PE=PF

，
∴Rt△CEP≌Rt△DFP，
∴∠EPC=∠FPD，
∴∠EPC+∠CEP=∠FPD+∠DFP，
②∵OP平分∠AOB，
∴PE=PF，
在Rt△CEP和Rt△D′FP中：

PC=PD′ PE=PF

，
∴Rt△CEP≌Rt△D′FP，
∴∠EPC=∠FPD′，
∴∠EPC+∠CEP=∠FPD′+∠D′FP，
∴∠OCP=∠BD′P，
∴∠OCP+∠OD′P=180°，
故答案为：相等或互补．

点评：此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据条件证明Rt△CEP≌Rt△DFP与Rt△CEP≌Rt△D′FP．