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如图甲,分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系(O、C、F三点在x轴正半轴上).若⊙P过A、B、E三点(圆心在x轴上),抛物线y=经过A、C两点,与x轴的另一交点为G,M是FG的中点,正方形CDEF的面积为1.
(1)求B点坐标;
(2)求证:ME是⊙P的切线;
(3)设直线AC与抛物线对称轴交于N,Q点是此对称轴上不与N点重合的一动点,
①求△ACQ周长的最小值;
②若FQ=t,S△ACQ=S,直接写出S与t之间的函数关系式.

【答案】分析:(1)如图甲,连接PE、PB,设PC=n,由正方形CDEF的面积为1,可得CD=CF=1,根据圆和正方形的对称性知:OP=PC=n,由PB=PE,根据勾股定理即可求得n的值,继而求得B的坐标;
(2)由(1)知A(0,2),C(2,0),即可求得抛物线的解析式,然后求得FM的长,则可得△PEF∽△EMF,则可证得∠PEM=90°,即ME是⊙P的切线;
(3)①如图乙,延长AB交抛物线于A′,连CA′交对称轴x=3于Q,连AQ,则有AQ=A′Q,△ACQ周长的最小值为AC+A′C的长,利用勾股定理即可求得△ACQ周长的最小值;
②分别当Q点在F点上方时,当Q点在线段FN上时,当Q点在N点下方时去分析即可求得答案.
解答:(1)解:如图甲,连接PE、PB,设PC=n,
∵正方形CDEF的面积为1,
∴CD=CF=1,
根据圆和正方形的轴对称性知:OP=PC=n,
∴BC=2PC=2n,
∵而PB=PE,
∴PB2=BC2+PC2=4n2+n2=5n2,PE2=PF2+EF2=(n+1)2+1,
∴5n2=(n+1)2+1,
解得:n=1或n=-(舍去),
∴BC=OC=2,
∴B点坐标为(2,2);

(2)证明:如图甲,由(1)知A(0,2),C(2,0),
∵A,C在抛物线上,

解得:
∴抛物线的解析式为:y=x2-x+2=(x-3)2-
∴抛物线的对称轴为x=3,即EF所在直线,
∵C与G关于直线x=3对称,
∴CF=FG=1,
∴MF=FG=
在Rt△PEF与Rt△EMF中,
∠EFM=∠EFP,


∴△PEF∽△EMF,
∴∠EPF=∠FEM,
∴∠PEM=∠PEF+∠FEM=∠PEF+∠EPF=90°,
∴ME是⊙P的切线;

(3)解:①如图乙,延长AB交抛物线于A′,连CA′交对称轴x=3于Q,连AQ,
则有AQ=A′Q,
∴△ACQ周长的最小值为AC+A′C的长,
∵A与A′关于直线x=3对称,
∴A(0,2),A′(6,2),
∴A′C==2,而AC==2
∴△ACQ周长的最小值为2+2
②当Q点在F点上方时,S=S梯形ACFK-S△AKQ-S△CFQ=×(3+1)×2-×(2-t)×3-×t×1=t+1,
同理,可得:当Q点在线段FN上时,S=1-t,
当Q点在N点下方时,S=t-1.
点评:此题考查了待定系数法求二次函数的解析式,圆的性质,相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题综合性很强,题目难度较大,解题的关键是方程思想、分类讨论与数形结合思想的应用.
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x2+bx+c
经过A、C两点,与x轴的另一交点为G,M是FG的中点,正方形CDEF的面积为1.
(1)求B点坐标;
(2)求证:ME是⊙P的切线;
(3)设直线AC与抛物线对称轴交于N,Q点是此对称轴上不与N点重合的一动点,
①求△ACQ周长的最小值;
②若FQ=t,S△ACQ=S,直接写出S与t之间的函数关系式.
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【小题2】求证:ME是⊙P的切线;
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