Question

如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6．现有两动点P、Q分别从A、C两点同时出发，点P以每秒1个单位长的速度由点A向点D做匀速运动，点Q沿折线CB-BA向点A做匀速运动．
（1）点P将要运行路径AD的长度为

 

；点Q将要运行的路径折线CB-BA的长度为

 

．
（2）当点Q在BA边上运动时，若点Q的速度为每秒2个单位长，设运动时间为t秒．
①求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并求自变量t的取范围；
②求当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
（3）如图2，若点Q的速度为每秒a个单位长（a≤

5

4

），当t=4秒时：
①此时点Q是在边CB上，还是在边BA上呢？
②△APQ是等腰三角形，请求出a的值．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据菱形的性质可知AC⊥BD，且AC与BD互相平分，再根据勾股定理即可求出菱形的边长，问题得到答案；
（2）①当

5

2

≤t＜5时，点Q在BA上运动，由题意，得AP=t，AQ=10-2t，过点Q作QG⊥AD，垂足为G，则QG∥BE，可得出△AQG∽△ABE，由相似三角形的对应边成比例即可得出S关于t的关系式，②根据二次函数的最值问题进行解答即可；
（3）①点Q是在边CB上，②判断出等腰三角形的两腰长，过点Q作QM⊥AP，垂足为点M，QM交AC于点F，根据△AMF∽△AOD∽△CQF，可得出FM的值，由QF=MQ-FM得出QF的值，进而可得出a的值．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AC=8，BD=6，
∴OA=4，OD=3，所以AD=5．
∴点Q将要运行的路径折线CB-BA的长度为10．
故答案为：5；10．

（2）①当点Q在BA上运动时，5≤2t＜10，即：

5

2

≤t＜5时，
如图1，过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点Q作QG⊥AD，垂足为G，则QG∥BE．
由题意可得BE=

24

5

，AP=t，AQ=10-2t．

∴△AQG∽△ABE，
∴

QG

BE

=

QA

BA

，
∴QG=

48

5

-

48t

25

        
∴S=

1

2

AP•QG，
即S=-

24

25

t²+

24

5

t （

5

2

≤t＜5）．
②∵S=-

24

25

t²+

24

5

t．
-

24

25

＜0，
∴S有最大值．
S=-

24

25

t2+

24

5

t=-

24

25

(t-

5

2

)2+6
∴当t=

5

2

时，S的最大值为6． 

（3）①∵a≤

5

4

，则4a≤5，
∴点Q在CB上，
如图2，作QM⊥AD于M，QM交AC于点F，


则QM为菱形的高．
由前面可知，QM=4.8
而当点P运行到点M时，QM最小，
如图3，
所以PQ≥QM，
∵t=4时，PA=4，∴QM＞PA．
∴PQ≥MQ＞PA，类似的AQ＞MQ＞PA，
∴QA=QP，△APQ是等腰三角形．
②∵QM⊥AP，
∴AM=

1

2

AP=2．由△AMF∽△AOD，
得，

FM

OD

=

AM

OA

而AM=2，OD=3，OA=4，
∴FM=

3

2

，
∴QF=MQ-FM=

33

10

．
由△AMF∽△CQF，

CQ

AM

=

QF

FM

，而QF=

33

10

，FM=

3

2

，AM=2．
∴CQ=

22

5

，
而当t=4时，CQ=4a，
所以4a=

22

5

，解得a=

11

10

．

点评：本题考查的是相似三角形的性质、菱形的性质、二次函数的最值及等腰三角形的性质，根据题意作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．