Question

7．已知关于x的一元二次方程x²-（2m+1）x+m（m+1）=0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，且BC=8，当△ABC为等腰三角形时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）先根据题意求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案；
（2）根据△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，设AB=x₁=8，得出8²-8（2m+1）+m（m+1）=0，求出m的值即可．

解答 解：（1）∵△=[-（2m+1）]²-4m（m+1）=1＞0，
∴不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根．

（2）由于无论m为何值，方程恒有两个不等实根，故若要△ABC为等腰三角形，那么必有一个解为8；
设AB=x₁=8，则有：
8²-8（2m+1）+m（m+1）=0，即：m²-15m+56=0，
解得：m₁=7，m₂=8．
则当△ABC为等腰三角形时，m的值为7或8．

点评 本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．