Question

20．在等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线等腰三角形ABC的周长分成15和6两部分，求三角形ABC的腰长及底边长．

Answer 1

分析 已知腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15cm和6cm两部分，而没有说明哪部分是15cm，哪部分是6cm；所以应该分两种情况进行讨论：第一种AB+AD=15cm，第二种AB+AD=6cm；分别求出其腰长及底边长，然后根据三角形三边关系定理将不合题意的解舍去．

解答 解：如图，根据题意得：AB=AC，AD=CD，
设BC=xcm，AD=CD=ycm，
则AB=AC=2ycm，
①若AB+AD=15cm，BC+CD=6cm，
则$\left\{\begin{array}{l}{2y+y=15}\\{x+y=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=5}\end{array}\right.$，
即AB=AC=10cm，BC=1cm；
②若AB+AD=6cm，BC+CD=15cm，
则$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=6}\\{x+y=15}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=13}\\{y=2}\end{array}\right.$，
即AB=AC=4cm，BC=13cm，
∵4+4=8＜13，不能组成三角形，舍去；
∴这个等腰三角形的底边的长为1cm．

点评 此题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系．此题难度不大，注意方程思想与分类讨论思想的应用是正确解答本题的关键．