Question

【题目】已知四边形中，，分别是、边上的点，与交于点．

（1）如图1，若四边形是正方形，且，求证：；

（2）如图2，若四边形是菱形，试探究当与满足什么关系，使得；

（3）如图3，，，，试判断与的数量关系，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析．（2）满足＋时，，理由见解析．

（3），理由见解析．

【解析】

（1）由四边形ABCD为正方形，利用正方形的性质得到一对角为直角，相等，且AD=DC，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用AAS得到三角形ADP与三角形DCQ全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；（2）满足＋时，，在AD的延长线上取点M，使CM=CQ，利用平行线的性质，以及同角（或等角）的补角相等得到三角形ADP与三角形DCM相似，利用相似三角形对应边成比例即可得证．（3）由（2）问的启示，构建出相同情境下的图形，把转化到（2）中角的已知条件上，利用同位置的相似三角形可得结论．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠ADC=90°，AD=DC，

∴∠ADP+∠APD=90°， ∵DP⊥CQ， ∴∠ADP+∠CQD=90°， ∴∠APD=∠CQD，

∴△ADP≌△DCQ， ∴DP=CQ；

（2）满足＋时，．

理由如下：如图，延长AD至M，使CM=CQ，则，

∵AB∥CD， ∴∠A=∠CDM，

，

∵AD∥BC， ∴∠B+∠A=180°，∴∠QGP+∠A=180°，

∴∠APD=∠CQM=∠CMQ，

∴△ADP∽△DCM，

∴ ，

．

（3），理由如下：

如图，AC与BD相交于G，延长DA至N，使BC=DN，又，

所以四边形BNDC为平行四边形，所以

因为，，所以，

因为，所以．

延长AD至M，使CM=CA，

结合（2）得：，

所以：，因为，

所以，所以．