Question

19．如图，点A₁，A₂，A₃…，A_n，A_n+1和B₁，B₂，B₃…，B_n分别为射线ON，OM上的点，B₁A₁⊥ON，B₂A₂⊥ON，…，B_nA_n⊥ON，△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄…，△A_nB_nA_n+1都是等腰直角三角形，若0A₁=3，A₁B₁=1，则A_nB_n=（$\frac{4}{3}$）^n-1（用含n的代数式表示）．

Answer 1

分析 由等腰三角形性质知A₁A₂=A₁B₁=1，根据B₁A₁⊥ON、B₂A₂⊥ON知△OA₁B₁∽△OA₂B₂，从而可得$\frac{O{A}_{1}}{O{A}_{2}}$=$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{{A}_{2}{B}_{2}}$，求得A₂B₂的值，同理再求出A₃B₃的值，根据规律可得答案．

解答 解：∵△A₁B₁A₂为等腰直角三角形，A₁B₁=1，
∴A₁A₂=A₁B₁=1，
∵B₁A₁⊥ON，B₂A₂⊥ON，
∴△OA₁B₁∽△OA₂B₂，
∴$\frac{O{A}_{1}}{O{A}_{2}}$=$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{{A}_{2}{B}_{2}}$，即$\frac{3}{3+1}$=$\frac{1}{{A}_{2}{B}_{2}}$，
解得：A₂B₂=$\frac{4}{3}$，
同理，△OA₁B₁∽△OA₃B₃，
∴$\frac{O{A}_{1}}{O{A}_{3}}$=$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{{A}_{3}{B}_{3}}$，即$\frac{3}{3+1+\frac{4}{3}}$=$\frac{1}{{A}_{3}{B}_{3}}$，
解得：A₃B₃=$\frac{16}{9}$=（$\frac{4}{3}$）²，
据此规律可得，A_nB_n=（$\frac{4}{3}$）^n-1，
故答案为：（$\frac{4}{3}$）^n-1．

点评 本题主要考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质及数字的变换规律，利用相似三角形的性质求得A₁B₁、A₂B₂的值是解题的关键．