【题目】在△ABC中,AC=25,AB=35,tanA=,点D为边AC上一点,且AD=5,点E、F分别为边AB上的动点(点F在点E的左边),且∠EDF=∠A.设AE=x,AF=y.
(1)如图1,当DF⊥AB时,求AE的长;
(2)如图2,当点E、F在边AB上时,求y关于x的函数关系式,并写出函数的定义域;
(3)联结CE,当△DEC和△ADF相似时,求x的值.
【答案】(1),(2) y=6-(≤x≤35);(3) x=25或x=5或x=.
【解析】
(1)先根据DF⊥AB,∠EDF=∠A,得出∠ADE=90°,再根据AD=5,tanA=,即可求出AE;
(2)过点D作DG⊥AB,交AB于G,先证出△EDF∽△EAD,得出ED2=AEEF,再求出DG、AG,最后根据EG=x-6,DE2=42+(x-3)2得出42+(x-3)2=x(x-y),再进行整理即可;
(3)先证出∠AFD=∠EDC,再分两种情况讨论:①当∠A=∠CED时,得出,,再把y=6-代入得出5(6-)=x,再解方程即可;②当∠A=∠DCE时,根据△ECD∽△DAF得出,,再把y=6-代入得出5(6-)=x,求出方程的解即可.
(1)∵DF⊥AB,
∴∠AFD=90°,
∴∠A+∠ADF=90°
∵∠EDF=∠A,
∴∠EDF+∠ADF=90°,
即∠ADE=90°,
在Rt△ADE中,∠ADE=90°,AD=5,tanA=
∴DE=,
∴AE=,
(2)过点D作DG⊥AB,交AB于G,
∵∠EDF=∠ADE,∠DEF=∠AED,
∴△EDF∽△EAD,
∴,
∴ED2=AEEF,
∴RT△AGD中,∠AGD=90°,AD=5,tanA=,
∴DG=4,AG=3,
∴EG=x-3,
∴DE2=42+(x-3)2,
∴42+(x-3)2=x(x-y),
∴y=6-(≤x≤35);
(3)∵∠A+∠AFD=∠EDF+∠EDC,且∠EDF=∠A,
∴∠AFD=∠EDC,
①当∠A=∠CED时,
∵∠EDF=∠A,
又∵∠CED=∠FDE,
∴DF∥CE
∴,
∴
∵y=6-,
∴5(6-)=x,
x1=25,x2=5;
②当∠A=∠DCE时,
∵∠EDF=∠A,
∴△ECD∽△DAF
∴,,
∵y=6-,
∴5(6-)=x,
∴x=,
∴当△DEC和△ADF相似时,x=25或x=5或x=.
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【题目】如图,△ABC中,∠B=∠C=30°,点O是BC边上一点,以点O为圆心、OB为半径的圆经过点A,与BC交于点D.
⑴ 试说明AC与⊙O相切;
⑵ 若,求图中阴影部分的面积.
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【题目】如图,直线交x轴于点A(8,0),直线经过点A,交y轴于点B,点P是直线上的一个动点,过点P作x轴的垂线,过点B作y轴的垂线,两条垂线交于点D,连接PB,设点P的横坐标为m.
(1)若点P的横坐标为m,则PD的长度为 (用含m的式子表示);
(2)如图1,已知点Q是直线上的一个动点,点E是x轴上的一个动点,是否存在以A,B,E,Q为顶点的平行四边形,若存在,求出E的坐标;若不存在,说明理由;
(3)如图2,将△BPD绕点B旋转,得到△BD′P′,且旋转角∠PBP′=∠OCA,当点P的对应点P′落在坐标轴上时,请直接写出点P的坐标.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B(1,0)两点,与y轴交于点C,直线y=x﹣2经过A,C两点,抛物线的顶点为D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求抛物线的顶点D的坐标;
(3)在y轴上是否存在一点G,使得GD+GB的值最小?若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)在直线AC的上方抛物线上是否存在点P,使△PAC的面积最大?若存在,直接写出P点坐标及△PAC面积的最大值.
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【题目】电商时代使得网购更加便捷和普及.小张响应国家号召,自主创业,开了家淘宝店.他购进一种成本为100元/件的新商品,在试销中发现:销售单价x(元)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)若某天小张销售该产品获得的利润为1200元,求销售单价x的值.
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【题目】盒中有若干枚黑棋和白棋,这些棋除颜色外无其他差别,现让学生进行摸棋试验:每次摸出一枚棋,记录颜色后放回摇匀.重复进行这样的试验得到以下数据:
摸棋的次数n | 100 | 200 | 300 | 500 | 800 | 1000 |
摸到黑棋的次数m | 24 | 51 | 76 | 124 | 201 | 250 |
摸到黑棋的频率(精确到0.001) | 0.240 | 0.255 | 0.253 | 0.248 | 0.251 | 0.250 |
(1)根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是 ;(精确到0.01)
(2)若盒中黑棋与白棋共有4枚,某同学一次摸出两枚棋,请计算这两枚棋颜色不同的概率,并说明理由
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【题目】已知抛物线y=-x2+1,下列结论:
①抛物线开口向上;
②抛物线与x轴交于点(-1,0)和点(1,0);
③抛物线的对称轴是y轴;
④抛物线的顶点坐标是(0,1);
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的.
其中正确的个数有( )
A. 5个B. 4个C. 3个
D. 2个
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+2ax+c(其中a、c为常数,且a<0)与x轴交于点A(﹣3,0),与y轴交于点B,此抛物线顶点C到x轴的距离为4.
(1)求抛物线的表达式;
(2)求∠CAB的正切值;
(3)如果点P是x轴上的一点,且∠ABP=∠CAO,直接写出点P的坐标.
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