Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，点Q为线段AP的中点，过点P向上作PM⊥AB，且PM＝3AQ，以PQ、PM为边作矩形PQNM．设点P的运动时间为t秒．

（1）线段MP的长为　 　（用含t的代数式表示）．

（2）当线段MN与边BC有公共点时，求t的取值范围．

（3）当点N在△ABC内部时，设矩形PQNM与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

（4）当点M到△ABC任意两边所在直线距离相等时，直接写出此时t的值．

Answer 1

【答案】（1）3t；（2）满足条件的t的值为≤t≤ ；（3）S＝ ；（4）满足条件的t的值为或或.

【解析】

（1）根据路程、速度、时间的关系再结合题意解答即可.

（2）分别出点M、N落在BC上时的t的范围即可；

（3）分重叠部分是矩形PQNM和五边形PQNEF两种情况进行解答即可；

（4）按以下三种情形：当点M落在∠ABC的角平分线BF上时，满足条件.作FELBC于E；当点M落在∠ACB的角平分线上时，满足条件作EFLBC于F；当点M落在△ABC的∠ACB的外角的平分线上时，满足条件.分别求解即可解答.

解：（1）由题意AP＝2t，AQ＝PQ＝t，

∵PM＝3PQ，

∴PM＝3t．

故答案为3t．

（2）如图2﹣1中，当点M落在BC上时，

∵PM∥AC，

∴，

∴，

解得t＝

如图2﹣2中，当点N落在BC上时，

∵NQ∥AC，

∴，

∴，

解得t＝，

综上所述，满足条件的t的值为≤t≤．

（3）如图3﹣1中，当0＜t≤时，重叠部分是矩形PQNM，S＝3t2

如图3﹣2中，当＜t≤时，重叠部分是五边形PQNEF．

S＝S矩形PQNM﹣S△EFM＝3t2﹣[3t﹣（4﹣2t）][3t﹣（4﹣2t）]＝﹣t2+18t﹣6，

综上所述， ．

（4）如图4﹣1中，当点M落在∠ABC的角平分线BF上时，满足条件．作FE⊥BC于E．

∵∠FAB＝∠FEB＝90°，∠FBA＝∠FBE，BF＝BF，

∴△BFA≌△BFE（AAS），

∴AF＝EF，AB＝BE＝4，设AF＝EF＝x，

∵∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，

∴BC＝＝5，

∴EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1，

在Rt△EFC中，则有x2+12＝（3﹣x）2，

解得x＝，

∵PM∥AF，

∴，

∴，

∴t＝

如图4﹣2中，当点M落在∠ACB的角平分线上时，满足条件作EF⊥BC于F．

同法可证：△ECA≌△ECF（AAS），

∴AE＝EF，AC＝CF＝3，设AE＝EF＝y，

∴BF＝5﹣3＝2，

在Rt△EFB中，则有x2+22＝（4﹣x）2，

解得x＝，

∵PM∥AC，

∴，

∴，

解得t＝ ．

如图4﹣3中，当点M落在△ABC的∠ACB的外角的平分线上时，满足条件．

设MC的延长线交BA的延长线于E，作EF⊥BC交BC的延长线于分，

同法可证：AC＝CF＝3，EF＝AE，设EF＝EA＝x，

在Rt△EFB中，则有x2+82＝（x+4）2，

解得x＝6，

∵AC∥PM，

∴，

∴，

解得t＝，

综上所述，满足条件的t的值为或或.