Question

9、如图所示，在△ABC中，AB＞AC，AD是内角平分线，AM是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上．

Answer 1

分析：直接证明比较困难，可采用反证法进行求解．先假设M在线段CD上，延长AM到N，使AM=MN，通过构建的全等三角形△AMC和△NMB，可得出∠MAC=∠N，AC=BN；然后通过M点的位置，求出∠N和∠BAM的大小关系，进而求出AB＜AC的结论，则假设与已知不符，故得出原结论正确．

解答：解：假设点M不在线段CD上不成立，则点M在线段CD上．
延长AM到N，使AM=MN，连接BN；
在△ADC和△NDB中，
BM=CM，AM=MN，∠AMC=∠BMC；
∴△ADC≌△NDB；
∴∠MAC=∠MNB，BN=AC；
根据M在线段CD上，则∠BAM＞∠MAC，
∴∠MNB＜∠BAM，
∴BN＞AB，
即AC＞AB；与AB＞AC相矛盾．
因而M在线段CD上是错误的．
所以点M不在线段CD上．

点评：本题结合全等三角形的判定和性质、角的比较等知识考查了反证法的实际应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．