Question

如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，DE⊥AC，垂足为E，∠EDC与∠EDA度数之比为1：2，且AC=8，则DE的长度是

 

．

Answer 1

考点：矩形的性质

专题：

分析：根据∠EDC：∠EDA=1：2，可得∠EDC=30°，∠EDA=60°，进而得出△OCD是等边三角形，再由AC=8，求得DE．

解答：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AC=BD=8，OA=OC=

1

2

AC=4，OB=OD=

1

2

BD=4，
∴OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠EDC：∠EDA=1：2，∠EDC+∠EDA=90°，
∴∠EDC=30°，∠EDA=60°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠DCE=90°-∠EDC=60°，
∴∠ODC=∠OCD=60°，
∴∠ODC+∠OCD+∠DOC=180°，
∴∠COD=60°，
∴△OCD是等边三角形，
DE=sin60°•OD=

3

2

×4=2

3

，
故答案为：2

3

．

点评：本题主要考查了勾股定理和矩形的性质，根据已知得出三角形OCD是等边三角形是解题关键，此题难度不大．