Question

如图，在菱形ABCD中，E是BC延长线上一点，连接AE，使得∠E=∠B，过D作DH⊥AE于H．
（1）若AB=10，DH=6，求HE的长；
（2）求证：AH=CE+EH．

Answer 1

分析：（1）由在菱形ABCD中，AB=10，DH=6，DH⊥AE，利用勾股定理可求得AH的长，又由∠E=∠B，易得AE的长，继而求得HE的长；
（2）首先过点D作DF⊥BC的延长线于点F，连接DE，易证得△ADH≌△CDF（AAS），继而可证得Rt△DEH≌Rt△DEF（HL），则可证得AH=CE+EH．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=10，
∵DH⊥AE，
∴∠AHD=90°，
在Rt△ADH中，AH=

AD2-DH2

=

102-62

=8，
∵∠E=∠B，
∴AE=AB=10，
∴HE=AE-AH=10-8=2；

证明：（2）过点D作DF⊥BC的延长线于点F，连接DE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD=CD，
∴∠1=∠B，∠2=∠3，
∵∠B=∠2，
∴∠1=∠3，
∵DH⊥AE，DF⊥CF，
∴∠4=∠F，
在△ADH和△CDF中，

∠3=∠1 ∠4=∠F AD=CD

，
∴△ADH≌△CDF（AAS），
∴AH=CF，DH=DF，
∴在Rt△DEH和Rt△DEF中，

DH=DF DE=DE

，
∴Rt△DEH≌Rt△DEF（HL），
∴EH=EF，
∵CF=CE+EF，
∴AH=CE+EH．

点评：此题考查了菱形的性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．