Question

1．如图，抛物线y=ax²+bx-2经过点A（1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，求⊙A的面积；
（3）将直线BC向下平移n个单位后与抛物线交于点M、N，且线段MN=2CB，求直线MN的解析式及平移的距离n．

Answer 1

分析 （1）根据A、B两点坐标待定系数法求解可得；
（2）作AD⊥BC，证△ABD∽△CBO得$\frac{AD}{CO}$=$\frac{AB}{BC}$，求出圆的半径AD的长即可得圆的面积；
（3）待定系数法求得直线BC解析式为y═$\frac{1}{2}$x-2，设平移后的直线解析式为y=$\frac{1}{2}$x+m，与抛物线的交点M（x₁、$\frac{1}{2}$x₁+m）、N（x₂，$\frac{1}{2}$x₂+m），由直线与抛物线相交得到关于x的方程及x₁+x₂=4，x₁x₂=2m+4，利用两点间的距离公式列出关于m的方程，解之可得答案．

解答 解：（1）将点A（1，0）、B（4，0）代入y=ax²+bx-2，
得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b-2=0}\\{16a+4b-2=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2；

（2）当x=0时，y=-2，
∴点C（0，-2），即OC=2，
由A（1，0）、B（4，0）知OA=1、OB=4，
∴AB=3，BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
如图，过点A作AD⊥BC于点D，

∴∠ADB=∠COB=90°，
∵∠ABD=∠CBO，
∴△ABD∽△CBO，
∴$\frac{AD}{CO}$=$\frac{AB}{BC}$，即$\frac{AD}{2}$=$\frac{3}{2\sqrt{5}}$，
解得AD=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴以点A为圆心、AD长为半径作⊙A，此时⊙A与BC相切，
∴⊙A的面积为π•（$\frac{3\sqrt{5}}{5}$）²=$\frac{9}{5}$π；

（3）设BC的解析式为y=kx+b，
将B（4，0）、C（0，-2）代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2，
设平移后的直线解析式为y=$\frac{1}{2}$x+m，与抛物线的交点M（x₁、$\frac{1}{2}$x₁+m）、N（x₂，$\frac{1}{2}$x₂+m），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+m}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{5}{2}x-2}\end{array}\right.$得-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2=$\frac{1}{2}$x+m，整理得x²-4x+2m+4=0，
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=2m+4，
则MN=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（\frac{1}{2}{x}_{1}+m-\frac{1}{2}{x}_{2}-m）^{2}}$
=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+\frac{1}{4}（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{\frac{5}{4}（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{\frac{5}{4}[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}]}$
=$\sqrt{\frac{5}{4}（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-\frac{5}{2}{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵MN=2BC=4$\sqrt{5}$，
∴MN²=80，即$\frac{5}{4}$（x₁+x₂）²-$\frac{5}{2}$x₁x₂=80，
∴$\frac{5}{4}$×16-$\frac{5}{2}$×（2m+4）=80，
解得m=-14，
∴平移后直线MN的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-14，
则平移的距离n=12．

点评 本题主要考查二次函数的综合问题，掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定和性质、两点间的距离公式等知识点是解题的关键．