Question

己知：如图．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC干点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．
（1）求证：∠DAC=∠DBA；
（2）求证：P处线段AF的中点；
（3）若⊙O的半径为5，AF=

7

6

，求tan∠ABF的值．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线的性质可得∠CBD=∠DBA，由圆周角定理可得∠DAC=∠CBD，继而可得出结论；
（2）根据等角的余角相等，得出∠ADE∠ABD，结合（1）可得PA=PD，再由等角的余角相等得出∠PDF=∠PFD，继而得出PD=PF，然后可得结论；
（3）证明△FDA∽△ADB，利用对应边成比例，可得tan∠DAF，再由∠DAF=∠ABF，可得出答案．

解答：解：（1）∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD=∠DBA，
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC=∠CBD，
∴∠DAC=∠DBA．

（2）∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
又∵DE⊥AB于点E，
∴∠DEB=90°，
∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°，
∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，
∴PD=PA，
又∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°且∠ADE=∠DAP，
∴∠PDF=∠PFD，
∴PD=PF，
∴PA=PF，即P是线段AF的中点．

（3）∵∠DAF=∠DBA，∠ADB=∠FDA=90°，
∴△FDA∽△ADB，
∴

DF

DA

=

AF

AB

=

7 6

10

=

7

60

，
∴tan∠ABF=tan∠DAF=

DF

DA

=

7

60

．

点评：本题考查了圆的综合，涉及了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例，同弧所对的圆周角相等，注意数形结合思想运用．