如图.抛物线y=$\frac{1}{4}$x2+bx+c与两轴交于点A(2.0).点B.直线y=kx+$\frac{3}{2}$.过点A与y轴交于点C.与抛物线的另一个交点是D点．(1)求抛物线y=$\frac{1}{4}$x2+bx+c与直线y=kx+$\frac{3}{2}$的解析式,(2)①点P是抛物线上A.D两点之间的一个动点.过P作PM∥y轴交线段AD于M点.过D点作DE⊥y轴于� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

7．

如图，抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c与两轴交于点A（2，0），点B（0，-$\frac{5}{2}$），直线y=kx+$\frac{3}{2}$，过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D点．
（1）求抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c与直线y=kx+$\frac{3}{2}$的解析式；
（2）①点P是抛物线上A、D两点之间的一个动点，过P作PM∥y轴交线段AD于M点，过D点作DE⊥y轴于点E．问：是否存在P点，使得四边形PMEC为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为m，点P的横坐标为t，求m与t的函数关系式，并求出m的最大值．

分析（1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，然后可求得抛物线的解析式，将点A的坐标代入直线的解析式可求得k的值，从而可求得直线的解析式；
（2）①将y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x-$\frac{5}{2}$与y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$联立，可求得点D（8，$\frac{15}{2}$），然后再求得点C（0，$\frac{3}{2}$）则CE=6，设点P的坐标为（x，$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x-$\frac{5}{2}$），则M的坐标是（x，$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$）．然后可得到PM的长与x的函数关系式，然后依据PM=CE，可求得x的值，从而可得到点P的坐标；
②在Rt△CDE中，依据勾股定理可知：DC=10，则△CDE的周长是24，接下来，证明△PMN∽△CDE，依据相似三角形的周长比等于相似比可得到m与x的函数关系式，最后利用配方法可求得m的最大值．

解答（1）解：∵y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c经过点A和点B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-2b+c=0}\\{c=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{4}}\\{c=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x-$\frac{5}{2}$．
∵直线y=kx+$\frac{3}{2}$经过点A（-2，0），
∴-2k+$\frac{3}{2}$=0，解得：k=$\frac{3}{4}$．
∴直线的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$．

（2）①将y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x-$\frac{5}{2}$与y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$联立，解得x=-2或x=8，
将x=8代入y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$得：y=$\frac{15}{2}$．
∴D（8，$\frac{15}{2}$）．
将x=0代入y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$得：y=$\frac{3}{2}$，
∴C（0，$\frac{3}{2}$）．
∴CE=6．
设点P的坐标为（x，$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x-$\frac{5}{2}$），则M的坐标是（x，$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$）．
∵点P在直线AD的下方，
∴PM=（$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$）-（$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x-$\frac{5}{2}$）=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4．
∵四边形PMEC为平行四边形，
∴PM=CE，
∴-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=6，解得x=2或x=4，
当x=2时，y=-3，当x=4时，y=-$\frac{3}{2}$．
∴当点P的坐标为（2，-3）或（4，-$\frac{3}{2}$）时，四边形PMEC为平行四边形．

②在Rt△CDE中，DE=8，CE=6，依据勾股定理可知：DC=10．
∴△CDE的周长是24．
∵PM∥y轴，
∴∠PMN=∠DCE．
又∵∠PNM=∠DEC=90°，
∴△PMN∽△CDE．
∴$\frac{{l}_{△PMN}}{{l}_{△CDE}}$=$\frac{PM}{DC}$，即$\frac{m}{24}$=$\frac{-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+4}{10}$．
化简整理得：m=-$\frac{3}{5}$x²+$\frac{18}{5}$x+$\frac{48}{5}$．
配方得：m=-$\frac{3}{5}$（x-3）²+15，
∴当x=3时，m有最大值，m的最大是15．

点评本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，平行四边形的性质、相似三角形的性质和判定，依据相似三角形的周长比等于相似比列出m与x的函数关系式是解题的关键．

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