Question

一座桥，桥拱是圆弧形（水面以上部分），测量时只测到桥下水面宽AB为16m（如图），桥拱最高处离水面4m．
（1）求桥拱半径；
（2）若大雨过后，桥下面河面宽度为12m，问水面涨高了多少？

Answer 1

分析：已知到桥下水面宽AB为16m，即是已知圆的弦长，已知桥拱最高处离水面4m，就是已知弦心距，可以利用垂径定理转化为解直角三角形的问题．

解答：解：（1）如图所示，设点O为AB的圆心，点C为

AB

的中点，
连接OA，OC，OC交AB于D，由题意得AB=16m，CD=4m，
由垂径定理得OC⊥AB，AD=

1

2

AB=

1

2

×16=8（m），
设⊙O半径为xm，则在Rt△AOD中，
OA²=AD²+OD²，即x²=8²+（x-4）²，
解得x=10，所以桥拱的半径为10m；

（2）设河水上涨到EF位置（如上图所示），
这时EF=12m，EF∥AB，有OC⊥EF（垂足为M），
∴EM=

1

2

EF=6m，
连接OE，则有OE=10m，
OM=

OE2-EM2

=

102-62

=8（m）
OD=OC-CD=10-4=6（m），
DM=OM-OD=8-6=2（m）．

点评：上涨高度即是弦心距的差．是正确解本题的关键．