Question

在平面直角坐标系中，点P（1，2），当△PAO是等腰直角三角形，且∠OPA=90°时，点A的坐标为

 

．

Answer 1

考点：等腰直角三角形,坐标与图形性质

专题：

分析：过点P作PC⊥x轴于点C，根据点P的坐标求出OC、PC的长度，过点A作AD⊥PC于D，先求出∠A=∠OPC，然后证明△POC和△APD全等，根据全等三角形对应边相等可得PD=OC，AD=PC，然后分情况求出点A的横坐标与纵坐标的长度，即可得解．

解答：解：如图，过点P作PC⊥x轴于点C，
∵点P（1，2），
∴OC=1，PC=2，
过点A作AD⊥PC于D，
∵△PAO是等腰直角三角形，
∴∠OPC+∠APD=90°，
∠A+∠APD=90°，
∴∠A=∠OPC，
在△POC和△APD中，

∠A=∠OPC ∠PCO=∠ADP PO=AP

，
∴△POC≌△APD（AAS），
∴PD=OC=1，AD=PC=2，
①点A在点P的右边时，点A的横坐标的长度为OC+AD=1+2=3，
点A的纵坐标是PC-PD=2-1=1，
此时，点A的坐标是（3，1）；
②点A在点P的左边时，点A的横坐标的长度为2-1=1，
点A的纵坐标是2+1=3，
∵点A在第二象限，
∴此时，点A的坐标是（-1，3），
综上所述，点A的坐标是（3，1）或（-1，3）．
故答案为：（3，1）或（-1，3）．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，利用作辅助线，构造出全等三角形是解题的关键，要注意分情况讨论求解．