Question

抛物线y=-x²+2（m+1）x+m+3与x轴交于A、B两点，且

OA

OB

=

3

1

，求m的值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：计算题

分析：根据题意设A（x₁，0），B（x₂，0），再分两种情况讨论，A和B在异侧和A和B在同侧时，根据

OA

OB

=

3

1

，得出x₁=-3x₂或x₁=3x₂再根据根与系数的关系求出x₂和x₁的值，再代入x₁x₂中，求出m的值，再把m的值代入到原方程，求出符合条件的m的值．

解答：解：设A（x₁，0），B（x₂，0），当A和B在异侧时，
∵

OA

OB

=

3

1

，
∴OA=3OB，
∴x₁=3×（-x₂）=-3x₂，
∴x₁+x₂=2（m+1），x₁x₂=-（m+3），
解得：x₂=-（m+1），x₁=3（m+1），
∴x₁x₂=[-（m+1）][3（m+1）]=-（m+3），
整理得：3m²+6m+3=m+3，即3m²+5m=0，
∴m（3m+5）=0，
解得：m=0，m=-

5

3

，
把m=0代入到原方程整理得：-x²+2x+3=0，
∴（x-3）（x+1）=0，
∴x₁=3，x₂ =-1．
把m=-

5

3

代入到原方程整理得：-x²-

4

3

x+

4

3

=0，
整理得：3x²+4x-4=0，
△=16+4×3×4＞0，有解，
∴m=-

5

3

、m=0都符合题意．
当A和B在同侧时，

OA

OB

=

3

1

，
∴OA=3OB，
∴x₁=3x₂，
∴x₁+x₂=2（m+1），x₁x₂=-（m+3），
解得：x₂=

m+1

2

，x₁=

3(m+1)

2

，
∴

m+1

2

×

3(m+1)

2

=-（m+3），
整理得：3m²+10m+15=0，
∴△=100-4×3×15＜0，无解；
综上所述，m=-

5

3

或m=0．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点问题，用到的知识点是根与系数的关系，若一元二次方程ax²+bx+c=0，有两根x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，关键是设出相应的未知数，求出x的值，注意本题无解的情况．