Question

在平面内画了若干个点，任意三点都不在同一直线上，连接任意两点共得到直线45条．
（1）问该平面上共画了多少个点？
（2）解决该问题是否得到了一个一元二次方程？如果不是，指出得到的方程的名称；如果是，求出这个方程的两根之和、两根之积，并求出两根的倒数和．

Answer 1

分析：（1）根据过两点的直线有1条，过不在同一直线上的三点的直线有3条，过任何三点都不在一条直线上四点的直线有6条，按此规律，由特殊到一般，总结出公式：平面内任意三个点都不在同一直线上，平面内有n个点，一共可以画直线的条数为

n(n-1)

2

；
（2）根据上题得到的方程进行判定即可．

解答：解：（1）设平面内有n个点，一共可以画（n-1）+…+4+3+2+1=

n(n-1)

2

=45，
整理得：n²-n-90=0
解得：n₁=10或n₂=-9（舍去），
答：该平面上共画了10个点；
（2）问题中得到了方程：n²-n-90=0
是有关n的一元二次方程，两根之和为1，两根之积为-90，

1

n1

+

1

n2

=

n1+n2

n1n2

=-

1

90

；

点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是总结出平面内n个点连接任意两点得到的直线的条数．