Question

【题目】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD是∠ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F．

（1）求证：△AED≌△CFD；

（2）若AB＝10，BC＝8，∠ABC＝60°，求BD的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）6.

【解析】

（1）由角平分线性质定理可得DE＝DF，由圆内接四边形性质可得∠A＋∠BCD＝180°，然后代换可得∠A＝∠DCF，又∠DEA＝∠F＝90°， 所以△AED≌△CFD；（2）由三角形全等可得AE＝CF，BE＝BF，设AE＝CF＝x，可得x＝1；在Rt△BFD，根据30°所对的直角边是斜边的一半，则BD＝2DF，利用勾股定理解得BD＝6.

（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠BCD＝180°，

又∵∠DCF＋∠BCD＝180°，∴∠A＝∠DCF

∵BD是∠ABC的角平分线，又∵DE⊥AB，DF⊥BC，

∴DE＝DF，

∠DEA＝∠F＝90°，

∴△AED≌△CFD.

（2）∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF，BE＝BF，

设AE＝CF＝x，则BE＝10－x，BF＝8＋x，

即10－x＝8＋x，解得x＝1，

在Rt△BFD，∠DBC＝30°，设DF＝y，则BD＝2y，

∵BF2＋DF2＝BD2，

∴y2＋92＝（2y）2，y＝3，

BD＝6.