Question

如图，点O₂是⊙O₁上一点，⊙O₂与⊙O₁相交于A、D两点，BC⊥AD于D，分别交⊙O₁、⊙O₂于B、C两点，延长DO₂交⊙O₂于E，交BA的延长线于F，BO₂交AD于G，连AC．
①求证：∠BGD=∠C；
②若∠DO₂C=45°，求证：AD=AF；
③若AF=6CD，AD=

95

5

，求DG的长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：计算题

分析：①由BC⊥AD得∠BGD+∠GBD=90°，再根据圆周角定理由AC为⊙O₂直径得∠ADC=90°，则∠DAC+∠C=90°，由同弧所对的圆周角相等得∠GBD=∠DAC，然后利用等量代换即可得到∠BGD=∠C；
②由∠DO₂C=45°，根据圆内接四边形的性质得∠ABD=45°，则∠BAD=∠ABD=45°，由O₂A=O₂D得弧O₂A=弧O₂D，则∠ABO₂=∠DBO₂=22.5°，再根据圆周角定理得∠ADF=∠ABO₂=22.5°，然后根据三角形外角性质可计算出∠F=22.5°，于是得到∠F=∠ADF，则根据等腰三角形的判定定理即可得到AD=AF；
③连结AE，设DC=x，BD=a，则AF=6x，AE=DC=x，根据圆周角定理由∠ADB=90°得到AB为⊙O₁的直径，所以∠AO₂B=90°，而O₂A=O₂C，根据等腰三角形的判定方法得到BA=BC=a+x，再证明AE∥BD得到△AEF∽△BDF，根据相似比可计算出x=

5

7

a，则AB=a+x=

12a

7

；在Rt△ABD中，利用勾股定理得到a²+（

95

5

）²=（

12

7

a）²，解得a=

7

5

，所以x=1，然后再证明△BDG∽△ADC，再利用相似比可计算出DG．

解答：①证明：∵BC⊥AD于D，
∴∠BGD+∠GBD=90°，
又∵AC为⊙O₂直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠C=90°，
∵∠GBD=∠DAC，
∴∠BGD=∠C；
②证明：∵∠DO₂C=45°，
∴∠ABD=∠DO₂C=45°，
∵∠ADB=90°，
∴∠BAD=∠ABD=45°，
∵O₂A=O₂D，
∴弧O₂A=弧O₂D，
∴∠ABO₂=∠DBO₂=22.5°，
∴∠ADF=∠ABO₂=22.5°，
∵∠BAD=∠F+∠ADF，
∴∠F=∠BAD-∠ADF=22.5°，
∴∠F=∠ADF，
∴AD=AF；
③解：连结AE，
设DC=x，BD=a，则AF=6x，AE=DC=x，
∵∠ADB=90°，
∴AB为⊙O₁的直径，
∴∠AO₂B=90°，
而O₂A=O₂C，
∴BA=BC=a+x，
∵DE为⊙O₂的直径，
∴∠DAE=90°，
∴∠DAE=∠ADB，
∴AE∥BD，
∴△AEF∽△BDF，
∴

AE

BD

=

AF

BF

，即

x

a

=

6x

6x+a+x

，
∴x=

5

7

a，
∴AB=a+x=

12a

7

在Rt△ABD中，
∵BD²+AD²=AB²，
∴a²+（

95

5

）²=（

12

7

a）²，解得a=

7

5

，
∴x=

5

7

×

7

5

=1，
∵∠BDG=∠DAC，
∴△BDG∽△ADC，
∴

BD

AD

=

DG

DC

，即

7 5

95 5

=

DG

1

，
∴DG=

7 95

95

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的判定与性质；会利用相似比和勾股定理进行几何计算．