Question

四边形ABCD中，∠BAD=90°，DC⊥AC，AC交BD于点O，AO=AB，过B作BN∥CD交AC于E，交AD于N，下列结论：
①∠NBD=

1

2

∠ADC；②CD+BE=AD；③若AO=2CO，则BE=CD；④S_△ABD=S_△ADC，
其中正确的个数是（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：（1）由CD⊥AC，BN∥DC可得BN⊥AC，∠4=∠2+∠3，∠2=∠5，再利用等角的余角相等得∠EAN=∠1，由AB=AO得∠1+∠5=∠AOB，根据三角形外角性质得∠AOB=∠3+∠OAD，代换后有∠3=∠5，于是∠2+∠3=2∠5，所以∠NBD=

1

2

∠ADC；
过N点作NH⊥DC，则四边形ENHC为矩形，根据矩形的性质得CH=EN，HN=CE，由∠3=∠5得到ND=NB，根据“AAS”可判断△NDH≌△BNA，则NH=AB，DH=AE，而AD=DN+AN，
然后根据等相等的代换可得到AD=BE+DC；
由NH=AB，CE=NH得CE=AB，而AB=OA．则CE=AO，利用AO=2CO得CE=OC+OE=2OC，即OC=OE，然后根据“ASA”可判断△OCD≌△OEB，于是CD=BE；
由于BC与AD不平行，则C点到AD的距离与AB不相等，然后根据三角形面积公式可得到S_△ABD≠S_△ADC．

解答：解∵CD⊥AC，BN∥DC，
∴BN⊥AC，∠4=∠2+∠3，∠2=∠5，
∵∠BAD=90°，
∴∠EAN=∠1，
∵AB=AO，
∴∠1+∠5=∠AOB，
而∠AOB=∠3+∠OAD，
∴∠1+∠5=∠3+∠OAD，
∴∠3=∠5，
∴∠2+∠3=2∠5，
∴∠NBD=

1

2

∠ADC，所以①正确；
过N点作NH⊥DC，则四边形ENHC为矩形，
∴CH=EN，HN=CE，
∵∠3=∠5，
∴ND=NB，
在△NDH和△BNA中

∠NHD=∠BAN ∠HDN=∠4 ND=NB

，
∴△NDH≌△BNA（AAS），
∴NH=AB，DH=AE，
∵AD=DN+AN，
∴AD=NB+DH=BE+NE+DH=BE+HC+DH=BE+DC，所以②正确；
由NH=AB，CE=NH得CE=AB，
而AB=OA，
∴CE=AO，
当AO=2CO，则CE=OC+OE=2OC，
∴OC=OE，
在△OCD和△OEB中

∠DCO=∠OEB OC=OE ∠COD=∠EOB

，
∴△OCD≌△OEB（ASA），
∴CD=BE，所以③正确；
∵BC与AD不平行，
∴C点到AD的距离与AB不相等，
∴S_△ABD≠S_△ADC，所以④错误．
故选C．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等，对应角相等．也考查了平行线的性质、矩形的判定与性质．