Question

8．如图，⊙O的半径为6cm，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°，则图中阴影部分的面积为6π+9$\sqrt{3}$cm²（结果用无理数表示）

Answer 1

分析 如图，作辅助线；首先运用垂径定理、直角三角形的边角关系求出BC、OD的长；其次求出∠AOC的度数，运用三角形、扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积．

解答 解：如图，连接OC；过点O作OD⊥BC；
则BD=CD；而∠B=30°，OB=6，
∴OD=3，BD=3$\sqrt{3}$，BC=2BD=6$\sqrt{3}$．
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B=30°，
∴∠AOC=30°+30°=60°，
∴S_阴影=S_扇形AOC+S_△BOC
=$\frac{60π•{6}^{2}}{360}+\frac{1}{2}×6\sqrt{3}×3$
=6π+9$\sqrt{3}$（cm²）．
故答案为$6π+9\sqrt{3}$．

点评 该题主要考查了垂径定理、直角三角形的边角关系、扇形的面积公式及其应用等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造直角三角形；解题的关键是灵活运用垂径定理、直角三角形的边角关系、扇形的面积公式等来分析、判断、解答．