在△ABC中.∠ACB=90°.∠ABC=30°.将△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转.旋转角为.得到△A′B′C．设直线A′B′与直线CB 相交于点D．.当 AB∥CB′时.证明:△A′CD 是等边三角形,(2)当θ=30°.75°.120°时.△CB′D是等腰三角形,.设AC的中点为 E.A′B′的中点为P.AC=a.连接EP.当旋转角θ为多少时.EP长度最大.求出EP的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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8．在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转，旋转角为（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．设直线A′B′与直线CB 相交于点D．
（1）如图（1），当 AB∥CB′时，证明：△A′CD 是等边三角形；
（2）当θ=30°，75°，120°时，△CB′D是等腰三角形；
（3）如图（2），设AC的中点为 E，A′B′的中点为P，AC=a，连接EP，当旋转角θ为多少时，EP长度最大，求出EP的最大值．（利用备用图（3）探究）

分析（1）当AB∥CB₁时，设A₁B₁与BC相交于点D．结合相似得到角相等，从而△A₁CD是等边三角形；
（2）由于旋转角θ=∠BCB′，△CB′D是等腰三角形，分三种情况①当∠BCB′=∠A′B′C时，②当∠BCB′=∠B′DC时，③当∠A′B′C=∠B′DC时，进行计算；
（3）设AC的中点为E，A₁B₁的中点为P，AC=a，连接EP，利用EP的长度最大值得到．

解答（1）证明：∵AB∥CB
∴∠B=∠BC B′=30°
∠BC A′=90°-30°=60°
∵∠A′=∠A=60°
∴△A′CD是等边三角形；
（2）由旋转有，∠BCB′=∠ACA′=θ，∠A′B′C=∠ABC=30°，
∵△CB′D是等腰三角形，
①当∠BCB′=∠A′B′C时，
∴∠BCB′=∠ABC=30°，
∴θ=∠BCB′=30°，
②当∠BCB′=∠B′DC时，
∴∠B′CB=$\frac{1}{2}$（180°-∠A′B′C）=75°，
∴θ=∠BCB′=75°，
③当∠A′B′C=∠B′DC时，
∴∠A′B′C=∠B′DC=30°，
∴∠BCB′=180°-2∠A′B′C=120°，
∴θ=∠BCB′=120°，
故答案为30°，75°，120°
（3）解：如图，∠ABC=30°

连接CP，当△ABC旋转到E、C、P三点共线时，EP最长，
此时θ=∠ACA₁=120°，
∵∠B′=30°，∠A′CB′=90°，
∴A′C=AC=$\frac{1}{2}$A′B′=a，
∵AC中点为E，A′B′中点为P，∠A′CB′=90°
∴CP=$\frac{1}{2}$A′B′=a，EC=$\frac{1}{2}$a，
∴EP=EC+CP=$\frac{1}{2}$a+a=$\frac{3}{2}$a．

点评此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的相似的性质的运用，和平行的性质的灵活使用，解本题的关键是旋转角的计算．

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