Question

【题目】如图，已知直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+4ax+b经过A、C两点，与x轴交于另一点B．

（1）求抛物线的解析式：

（2）点Q在抛物线上，且S△AQC=S△BQC，求点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+2；（2）Q（﹣4，2）或（﹣，﹣）.

【解析】

（1）先求出A、C两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题;（2）①分点Q在x轴上方时，根据平行线间的距离相等可得当CQ∥AB时，△AQC和△BQC面积相等，然后根据点Q与点C的纵坐标相等，利用抛物线解析式列式计算即可得解；②点Q在x轴下方时，设CQ与x轴相交于点D，根据△AQC和△BQC面积相等可知AD=BD，然后求出点D的坐标，再利用待定系数法求出直线CD的解析式，与抛物线联立求解即可得到点Q的坐标．

（1）∵当y=0时，则有x+2=0，解得x=﹣5，

∴点A的坐标为（﹣5，0），

∵当x=0时，则有y=2，

∴点C的坐标为（0，2），

∵抛物线y=ax2+4ax+b经过A、C两点，把（0，2）（﹣5，0）代入得

∴，解得，

∴抛物线为y=﹣x2﹣x+2．

（2）①当Q在x轴上方时（如图1），

△ACQ和△BCQ同底，若它们的面积相等，则A、B到直线CQ的距离相等，即CQ∥AB；

∵抛物线的对称轴为x=﹣2，

∴点Q坐标为（﹣4，2）；

②当Q在x轴下方时（如图2），

，设CQ与x轴交于点D，若△AQC和△BQC面积相等，则有AD=BD

令y=0，则﹣x2﹣x+2=0，解得x1=﹣5，x2=1，即AB=6

∴点D的坐标为（﹣2，0）

设直线CD的解析式为y=kx+b，把（0，2）（﹣2，0）代入得

解得,

∴直线CD的解析式为y=x+2，

∵点Q在直线CD与抛物线上，

∴x+2=﹣x2﹣x+2，解得x1=0，x2=﹣，

∴点Q坐标为（﹣，﹣）；

∴点Q的坐标为（﹣4，2）或（﹣，﹣）